Feladat:	B.4705	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Dávid Paszkál
Füzet:	2015/november, 472. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: B.4705

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenlet ekvivalens átalakításával a bal oldalon két kifejezés szorzatát alakítjuk ki: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 4x^2+4px}& {\displaystyle =4y^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(2x+p\right)}^2-p^2}& {\displaystyle =4y^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(2x+p\right)}^2-{4y}^2}& {\displaystyle =p^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(2x+p+2y\right)\left(2x+p-2y\right)}& {\displaystyle =p^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $p$ prímszám, $p^2$-nek csak 3 osztója van: $1$, $p$, $p^2$. Tehát a $2x+p+2y$ és $2x+p-2y$ szorzótényezők mindegyike $p$, vagy az egyik $p^2$ és a másik $1$. Ha mindkettő $p$, akkor $2x+p+2y=2x+p-2y$, amiből $2y=-2y$, vagyis $y=0$, ezt viszont nem engedik meg a feladat feltételei. Mivel $2x+p+2y>2x+p-2y$, így egy lehetőségünk maradt: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x+p+2y=p^2\text{és}2x+p-2y=1.}\end{array}$ A két egyenletet összeadva: $4x+2p=p^2+1$, amiből $4x=p^2-2p+1={\left(p-1\right)}^2$. Tehát $x={\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2$. Visszahelyettesítve a $2x+p+2y=p^2$ egyenletbe: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2y=p^2-p-2x\mathrm{,}\text{amiből}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle y=\frac{p\cdot \left(p-1\right)}{2}-{\left(\frac{p-1}{2}\right)}^2=\frac{2p^2-2p-p^2+2p-1}{4}=\frac{p^2-1}{4}=\frac{\left(p-1\right)\left(p+1\right)}{4}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $p$ páratlan prímszám, $p-1$ és $p+1$ is páros szám, így $x$ és $y$ is pozitív egész szám. Tehát minden $p$-re pontosan egy pozitív egész megoldást kapunk $x$-re és $y$-ra.