Feladat:	B.4699	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga-Umbrich Eszter
Füzet:	2015/november, 469 - 470. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Deltoidok, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: B.4699

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a szerkesztendő $ABCD$ deltoid szimmetriatengelye az $AC$ átló, jelöljük a deltoid $A$-nál lévő szögét $2\alpha$-val. Mivel a deltoidnak van körülírt köre, ezért szemközti szögeinek összege ${180}^{\circ }$, tehát a szimmetria miatt $B$-nél és $D$-nél lévő szögei derékszögek. Ezért $B$ és $D$ rajta van az $AC$ átló Thalész-körén, ami egyúttal a deltoid körülírt köre is. Ennek $O_1$ középpontja tehát az $AC$ átló felezőpontja. Jelöljük a deltoid beírt körének középpontját $O_2$-vel. Ez a pont a deltoid belső szögfelezőinek a metszéspontja, tehát rajta van az $AC$ átlón és $\begin{array}{c}{\displaystyle AB{O}_2\sphericalangle =CB{O}_2\sphericalangle ={45}^{\circ }}\end{array}$ (lásd az 1. ábrát).   1. ábra   A szögfelezőtétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{A{O}_2}{O_{2}C}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Ha $O_2\equiv O_1$, akkor $AB=BC$, a szerkesztendő deltoid négyzet, amit $AC$ átlójának ismeretében könnyen megszerkeszthetünk. Ha $O_1{O}_2>0$, akkor $A$ és $C$ szimmetrikus szerepe miatt feltehetjük, hogy $AB>BC$. Jelöljük az $O_2$-ben $AC$-re állított merőleges és az $AB$ szakasz metszéspontját $E$-vel. Ekkor az $ABC$ és $A{O}_{2}E$ derékszögű háromszögek hasonlóak, mert $A$-nál lévő hegyesszögük megegyezik, mindkettőben $\alpha$. Ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{ctg}\alpha =\frac{AB}{BC}=\frac{A{O}_2}{O_{2}E}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből az (1) egyenlőség miatt $O_{2}C=O_{2}E$ következik.   2. ábra   Ezek alapján a szerkesztés már egyszerűen elvégezhető. Megrajzoljuk a deltoid $O_1$ középpontú körülírt körét és kijelöljük egyik átmérőjét, ennek két végpontja $A$ és $C$. Az $O_{1}C$ sugárra $O_1$-ből felmérve az adott $O_1{O}_2$ távolságot megkapjuk $O_2$-t. Az $O_2$-ben $AC$-re állított merőlegesre $O_2$-ből az $O_{2}C$ távolságot felmérve kapjuk $E$-t. Az $AE$ egyenes és a körülírt kör $A$-tól különböző metszéspontja adja $B$-t, ennek $AC$-re vonatkozó tükörképe pedig $D$-t. Az így szerkesztett $ABCD$ deltoid nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek. A feladatnak egy megoldása van, ha $O_1{O}_2$ kisebb, mint a deltoid körülírt körének sugara, ha pedig ez nem teljesül, akkor nincs megoldása.