Feladat:	4876. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fajszi Bulcsú
Füzet:	2017/február, 120 - 122. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Bernoulli-törvény, Folytonossági (kontinuitási) egyenlet
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/november: 4876. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A külső légnyomás $p_0$, ugyanekkora a nyomás a jobb oldali folyadékrészben is, hiszen ott a folyadék nem gyorsul. A folyadék bal oldali részében a nyomás $p_0+\Delta p$. A vastagabb csőrészben $v_1$ sebességgel áramlik a folyadék (és vele együtt ugyanekkora sebességgel mozog a dugattyú is), a vékonyabb csőrészben az áramlási sebesség $v_2$. $a)$ A dugattyú egyenletesen mozog (nem gyorsul), a rá ható erők eredője tehát nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle F-\Delta pA=0.}\end{array}$ Az áramló folyadékra felírhatjuk a kontinuitási egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle A{v}_1=kA{v}_2}\end{array}$ és a Bernoulli-törvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_0+\Delta p+\frac{1}{2}\varrho v_1^2=p_0+\frac{1}{2}\varrho v_2^2\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti három egyenletből kifejezhetjük $v_1$-et a megadott paraméterekkel: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\sqrt[]{\frac{2F{k}^2}{\varrho A\left(1-k^2\right)}}=\sqrt[]{\frac{F}{12\varrho A}}\mathrm{,}}\end{array}$ ekkora állandósult sebességgel mozog tehát a dugattyú. $b)$ A falnak csapódó víz sebességének vízszintes komponense $v_2$-ről gyakorlatilag nullára csökken. A fal által a vízre kifejtett erőt Newton II. törvényének eredeti alakját felhasználva számíthatjuk ki. Valamekkora $\Delta t$ idő alatt a falnak csapódó vízsugár ,,hossza'' $\ell =v_2\Delta t$, tömege $m=\varrho \ell kA$, így a fal által (balra) kifejtett erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{fal}\to \text{víz}}=\frac{|\Delta I|}{\Delta t}=\frac{m|\Delta v|}{\Delta t}=\frac{\varrho kA\ell |\Delta v|}{\Delta t}=\frac{\varrho A{v}_1^2}{k}=\frac{2k}{1-k^2}F=\frac{5}{12}F\mathrm{.}}\end{array}$ A víz ellenereje a falra ($F_{\text{víz}\to \text{fal}}$) ezzel megegyezik (csak az iránya ellentétes, tehát jobbra mutat). $c)$ A cső nyugalomban van, így amekkora nagyságú vízszintes erőt fejt ki a víz a csőre ($F_{\text{víz}\to \text{cső}}$), a rögzítés által a csőre kifejtett $F_{\text{rögzítés}\to \text{cső}}$ erő is ugyanekkora nagyságú (de vele ellentétes irányú). Ugyanez érvényes a megfelelő ellenerőkre is: $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{cső}\to \text{rögzítés}}=F_{\text{rögzítés}\to \text{cső}}=F_{\text{víz}\to \text{cső}}=F_{\text{cső}\to \text{víz}}\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett (a cső által a rögzítésre kifejtett) erő tehát ugyanakkora, amekkora erővel a cső hat a vízre. Ez utóbbi viszont ismét a Newton-törvény segítségével határozható meg. A csőben lévő víz lendülete $\Delta t$ idő alatt $m=\varrho v_{1}A\Delta t$ tömegű részének sebessége $v_1$-ről $v_2$-re nő. A víz lendületváltozását a vízre ható eredő erő okozza: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F_{\text{eredő}}}& {\displaystyle =F-F_{\text{cső}\to \text{víz}}=\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{m\Delta v}{\Delta t}=\frac{\varrho v_{1}A\Delta t\left(v_2-v_1\right)}{\Delta t}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\varrho A\left(\frac{1}{k}-1\right)v_1^2=\frac{2k}{k+1}F\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből a kérdéses erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F_{\text{cső}\to \text{rögzítés }}=F_{\text{cső}\to \text{víz}}=F-F_{\text{eredő}}=F\left(1-\frac{2k}{k+1}\right)=\frac{1-k}{1+k}F=\frac{2}{3}F}\end{array}$ nagyságú.   Megjegyzés. Figyelemre méltó, hogy $F_{\text{víz}\to \text{fal}}+F_{\text{cső}\to \text{rögzítés}}\ne F$, de ez nem ellentmondás, hiszen (a sebességek időbeli állandósága ellenére) a teljes folyadékmennyiség lendülete időben egyre változik, csökken. A teljes vízmennyiségre ható eredő erő $\begin{array}{c}{\displaystyle F-F_{\text{fal}\to \text{víz}}-F_{\text{cső}\to \text{víz}}=-\frac{2k^2}{1-k^2}F}\end{array}$ és ez éppen megegyezik a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta I_{\text{összes}}}{\Delta t}=-\frac{\Delta m\cdot v_1}{\Delta t}=-\varrho A{v}_1^2}\end{array}$ mennyiséggel, összhangban Newton II. törvényével.