Feladat:	4865. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Varga-Umbrich Eszter
Füzet:	2017/február, 117 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: 4865. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Ha a sebességeket km/h-ban és a távolságokat km egységekben mérjük (az egyszerűség kedvéért ezeket a mértékegységeket a továbbiakban nem írjuk ki), akkor a két gépkocsi távolsága az idő függvényében így változik: $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(t\right)=\sqrt[]{{\left(6-36t\right)}^2+{\left(3-v_{2}t\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a távolság akkor lesz a legkisebb, amikor a gyökjel alatti ($t$-ben másodfokú) kifejezés minimális. A minimumhoz tartozó $t_0$ időpillanatot teljes négyzetté alakítással, vagy a kifejezés $t$ szerinti deriváltjának eltűnéséből határozhatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle -36\left(6-36t_0\right)-v_2\left(3-v_2{t}_0\right)=\mathrm{0,}\text{ha}t=t_0=0\mathrm{,}15\left(\text{h}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az összefüggés a keresett $v_2$ sebességre egy másodfokú egyenletre vezet: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2^2-20v_2+144=\mathrm{0,}}\end{array}$ amelynek pozitív gyöke: $v_2=25\mathrm{,}6$km/h. Ezt a sebességet (és $t_0$ számértékét) a távolság képletébe helyettesítve megkapjuk a járművek közötti legkisebb távolságot: $d_{\text{min}}=1\mathrm{,}03$ km.