Feladat:	4848. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Asztalos Bogdán ,  Balogh Menyhért ,  Bekes Nándor ,  Csorba Benjámin ,  Elek Péter ,  Fehér Szilveszter ,  Fekete Balázs Attila ,  Kasza Bence ,  Szántó Benedek ,  Tomcsányi Gergely
Füzet:	2017/február, 115 - 117. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/május: 4848. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a kiskocsi kezdősebességének nagyságát $v$-vel, állandó gyorsulását $a$-val, a mozgás teljes idejét pedig $T$-vel. Legyen $t=1$ s, ami az utolsó másodperc idejét jelöli. A feladat szövegéből nem derül ki, hogy a kocsit lefelé vagy felfelé löktük meg, ezért több esetet is meg kell vizsgálnunk. I. eset. A kiskocsit lefelé löktük meg. A mozgás teljes ideje alatt megtett út: $\begin{array}{c}{\displaystyle s=vT+\frac{a}{2}{T}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A kocsi a mozgás utolsó, $t$ időtartamú részében tette meg az útjának felét, így a mozgás kezdeti, $T-t$ hosszú szakaszában is az út felét tette meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{s}{2}=v\left(T-t\right)+\frac{a}{2}{\left(T-t\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A két egyenletből algebrai átalakítások után kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T}{t}=2-\frac{v}{at}+\sqrt[]{{\left(\frac{v}{at}\right)}^2+2}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy érdemes bevezetni a $\lambda =v/\left(at\right)\ge 0$ dimenziótlan mennyiséget, és ennek függvényében vizsgálni a $T\left(\lambda \right)$ időt, keresni annak maximumát. Mivel az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(\lambda \right)=2-\lambda +\sqrt[]{{\lambda }^2+2}}\end{array}$ függvény monoton csökkenő (ezt grafikus ábrázolással vagy differenciálszámítással láthatjuk be), $T\left(\lambda \right)$ maximális értéke $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{\text{max}}^{\text{(I)}}=\left(2+\sqrt[]{2}\right)t\approx 3\mathrm{,}4\text{s. }}\end{array}$   II. eset. A kiskocsit felfelé löktük meg, és még a lassulása közben állítottuk meg. A megadott feltétel szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}\left[vT-\frac{a}{2}{T}^2\right]=v\left(T-t\right)-\frac{a}{2}{\left(T-t\right)}^2\mathrm{,}v>aT\mathrm{.}}\end{array}$ Innen (a korábbi jelöléssel) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{T}{t}=\lambda +2-\sqrt[]{{\lambda }^2+2}\mathrm{,}}\end{array}$ és a megállásra vonatkozó feltétel szerint $\lambda >\sqrt[]{2}$. Mivel $T\left(\lambda \right)$ monoton növekvő függvény, maximuma nincs, csak határértéke (ami egyben a felső korlátja): $\begin{array}{c}{\displaystyle T^{\text{(II)}}<2t=2\text{s, }}\end{array}$ és a felső korlátot akkor közelíti meg $T$, ha $\lambda \gg 1$, vagyis a kezdősebesség nagyon nagy.   III. eset. A kiskocsit felfelé löktük meg, de nem túl nagy kezdősebességgel. A kocsi egy idő után megáll, majd a mozgásának végén, annak $t$ időtartama alatt már gyorsulva mozog lefelé a lejtőn. A kiskocsi az indítás után $T_0=v/a$ idő múlva áll meg, ezalatt $\begin{array}{c}{\displaystyle s_1=\frac{v^2}{2a}}\end{array}$ utat tesz meg felfelé. Utána $T-t-\left(v/a\right)$ ideig mozogva lefelé még megtesz $\begin{array}{c}{\displaystyle s_2=\frac{a}{2}{\left(T-t-\frac{v}{a}\right)}^2}\end{array}$ utat, majd a mozgás utolsó $t$ idejében $\begin{array}{c}{\displaystyle s_3=\frac{a}{2}{\left(T-\frac{v}{a}\right)}^2-\frac{a}{2}{\left(T-t-\frac{v}{a}\right)}^2}\end{array}$ utat. Az $s_1+s_2=s_3$ feltételből ‐ algebrai átalakítások után ‐ a mozgás teljes idejére a $\begin{array}{c}{\displaystyle T\left(\lambda \right)=\left[2+\lambda +\sqrt[]{2-{\lambda }^2}\right]t}\end{array}$ képletet kapjuk. Ennek a függvénynek $\lambda =1$-nél van maximuma, és $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{\text{max}}^{\text{(III)}}=4t=4\text{s. }}\end{array}$ Ha az utak közötti kapcsolatot leíró egyenletet nem $T$-re, hanem $\lambda$-ra oldjuk meg, ezt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \lambda =\frac{T-2t\pm \sqrt[]{T\left(4t-T\right)}}{2t}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy teljesülnie kell a $T\le 4t=4\text{s}$ feltételnek, és ha $T=4t$, akkor $\lambda =1$.   Megjegyzés. Ha például a kezdősebesség $v=1\text{m/s}$, és a lejtő hajlásszögét úgy állítjuk be, hogy a gyorsulás 1 m/s${}^2$ nagyságú legyen, akkor a kiskocsi a mozgásának első másodpercében felfelé mozog a lejtőn, és 0,5 méter utat tesz meg. A második másodpercben lefelé 0,5 métert, a harmadikban 1,5 métert, a negyedikben pedig 2,5 métert gurul lefelé. Látható, hogy teljesül a feladat követelménye: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{0\mathrm{,}5+0\mathrm{,}5+1\mathrm{,}5+2\mathrm{,}5}{2}\text{m}=2\mathrm{,}5\text{m}\mathrm{.}}\end{array}$   IV. eset. A kiskocsit felfelé löktük meg, méghozzá úgy, hogy a visszafordulásának pillanata a mozgás utolsó $t$ időtartamára esik. Az előző három esethez hasonló vizsgálódással beláthatjuk, hogy a mozgás teljes ideje ilyenkor legfeljebb $2t=2$s lehet, és ez a határeset akkor valósul meg, ha a kiskocsi $t$ ideig mozog felfelé, majd ugyanennyit lefelé. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a kiskocsi mozgása legfeljebb 4 másodpercig tarthat. Ilyen időtartamú lesz a mozgás, ha a kocsit a lejtőn felfelé indítjuk el úgy, hogy a kezdősebesség és a gyorsulás hányadosa éppen 1 másodperc legyen.