|
Feladat: |
4848. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Asztalos Bogdán , Balogh Menyhért , Bekes Nándor , Csorba Benjámin , Elek Péter , Fehér Szilveszter , Fekete Balázs Attila , Kasza Bence , Szántó Benedek , Tomcsányi Gergely |
Füzet: |
2017/február,
115 - 117. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2016/május: 4848. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a kiskocsi kezdősebességének nagyságát -vel, állandó gyorsulását -val, a mozgás teljes idejét pedig -vel. Legyen s, ami az utolsó másodperc idejét jelöli. A feladat szövegéből nem derül ki, hogy a kocsit lefelé vagy felfelé löktük meg, ezért több esetet is meg kell vizsgálnunk. I. eset. A kiskocsit lefelé löktük meg. A mozgás teljes ideje alatt megtett út: A kocsi a mozgás utolsó, időtartamú részében tette meg az útjának felét, így a mozgás kezdeti, hosszú szakaszában is az út felét tette meg: A két egyenletből algebrai átalakítások után kapjuk, hogy Látható, hogy érdemes bevezetni a dimenziótlan mennyiséget, és ennek függvényében vizsgálni a időt, keresni annak maximumát. Mivel az függvény monoton csökkenő (ezt grafikus ábrázolással vagy differenciálszámítással láthatjuk be), maximális értéke
II. eset. A kiskocsit felfelé löktük meg, és még a lassulása közben állítottuk meg. A megadott feltétel szerint | | Innen (a korábbi jelöléssel) és a megállásra vonatkozó feltétel szerint . Mivel monoton növekvő függvény, maximuma nincs, csak határértéke (ami egyben a felső korlátja): és a felső korlátot akkor közelíti meg , ha , vagyis a kezdősebesség nagyon nagy.
III. eset. A kiskocsit felfelé löktük meg, de nem túl nagy kezdősebességgel. A kocsi egy idő után megáll, majd a mozgásának végén, annak időtartama alatt már gyorsulva mozog lefelé a lejtőn. A kiskocsi az indítás után idő múlva áll meg, ezalatt utat tesz meg felfelé. Utána ideig mozogva lefelé még megtesz utat, majd a mozgás utolsó idejében utat. Az feltételből ‐ algebrai átalakítások után ‐ a mozgás teljes idejére a képletet kapjuk. Ennek a függvénynek -nél van maximuma, és Ha az utak közötti kapcsolatot leíró egyenletet nem -re, hanem -ra oldjuk meg, ezt kapjuk: Látható, hogy teljesülnie kell a feltételnek, és ha , akkor .
Megjegyzés. Ha például a kezdősebesség , és a lejtő hajlásszögét úgy állítjuk be, hogy a gyorsulás 1 m/s nagyságú legyen, akkor a kiskocsi a mozgásának első másodpercében felfelé mozog a lejtőn, és 0,5 méter utat tesz meg. A második másodpercben lefelé 0,5 métert, a harmadikban 1,5 métert, a negyedikben pedig 2,5 métert gurul lefelé. Látható, hogy teljesül a feladat követelménye:
IV. eset. A kiskocsit felfelé löktük meg, méghozzá úgy, hogy a visszafordulásának pillanata a mozgás utolsó időtartamára esik. Az előző három esethez hasonló vizsgálódással beláthatjuk, hogy a mozgás teljes ideje ilyenkor legfeljebb s lehet, és ez a határeset akkor valósul meg, ha a kiskocsi ideig mozog felfelé, majd ugyanennyit lefelé. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a kiskocsi mozgása legfeljebb 4 másodpercig tarthat. Ilyen időtartamú lesz a mozgás, ha a kocsit a lejtőn felfelé indítjuk el úgy, hogy a kezdősebesség és a gyorsulás hányadosa éppen 1 másodperc legyen. |
|