Feladat:	B.4669	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kátay Tamás
Füzet:	2015/május, 286 - 287. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Diofantikus egyenletek, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/december: B.4669

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelölje $x$ a 777 fejű sárkány 9 fejű nyakainak számát, és $y$ a 13 fejű nyakainak számát. Ekkor $9x+13y=777$, ahol $x\mathrm{,}y\in N$. Nyilván $13y\le 777$, amiből $y\le \left[\frac{777}{13}\right]=59$. Tehát $0\le y\le 59$. $13y=777-9x=3\left(259-3x\right)$. Mivel $3\mid 3\left(259-3x\right)$, ezért $3\mid 13y$, vagyis $\left(\mathrm{13,3}\right)=1$ miatt $3\mid y$. 259 nem osztható 3-mal, ezért 9 nem osztója $3\left(259-3x\right)$-nek, és így $13y$-nak sem, ezért $y$-nak sem. Vagyis $y$ csak $9k+3$ vagy $9k+6$ alakú lehet. 1. eset: $y=9k+3\le 59$, azaz $0\le k\le 6$. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 9x+13\left(9k+3\right)=\mathrm{777,}9x+13\cdot 9k=\mathrm{738,}x+13k=\mathrm{82,}x=82-13k\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez minden $0\le k\le 6$ esetén pozitív szám. Így a 9 fejű és 13 fejű nyakakra vonatkozó lehetséges $\left(x;y\right)$ számpárok: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(82;3\right)\mathrm{,}\left(69;12\right)\mathrm{,}\left(56;21\right)\mathrm{,}\left(43;30\right)\mathrm{,}\left(30;39\right)\mathrm{,}\left(17;48\right)\text{ és }\left(4;57\right)\mathrm{.}}\end{array}$ 2. eset: $y=9l+6\le 59$, azaz $0\le l\le 5$. $\begin{array}{c}{\displaystyle 9x+13\left(9l+6\right)=\mathrm{777,}9x+13\cdot 9l=699.}\end{array}$ A bal oldal osztható 9-cel, a jobb oldal viszont nem, ez ellentmondás, így ez az eset nem ad megoldást. Tehát összesen hét különböző 777 fejű sárkány létezik.   II. megoldás. Legyen a 9-fejű nyakak száma $a$, a 13-fejű nyakak száma $b$. Ekkor teljesül a következő összefüggés: $9a+13b=777$, amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{777-13b}{9}=86-b+\frac{3-4b}{9}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $a$ és $b$ értéke akkor megfelelő, ha mindkét oldal egész szám és pozitív; ebből egyelőre csak az előbbi követelménnyel foglalkozunk. Ez pontosan akkor teljesül, ha $b$ is és $\frac{3-4b}{9}=x$ is egész, azaz $4b+9x=3$, vagyis $b=\frac{3-9x}{4}=-2x+\frac{3-x}{4}$. Ez akkor és csak akkor egész, ha tetszőleges $y$ egésszel $3-x=4y$, vagyis $x=3-4y$. Ez azt jelenti, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle b=-2\left(3-4y\right)+y=-6+9y\text{és}a=86-\left(-6+9y\right)+\left(3-4y\right)=95-13y\mathrm{.}}\end{array}$ Szükséges még, hogy $a$ és $b$ egyike se legyen negatív: $a=95-13y\ge 0$, azaz $y\le 7$, valamint $b=-6+9y\ge 0$, vagyis $y\ge 1$. Így $y=\mathrm{1,2,3,4,5,6,7}$ lehet, tehát 7 különböző értékpár adódott $\left(a;b\right)$-re, ennyi különböző 777 fejű sárkány van.