Feladat:	B.4656	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kátay Tamás ,  Nagy Kartal
Füzet:	2015/május, 279 - 280. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Paralelogrammák
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: B.4656

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Középiskolában rendszeresen előforduló feladat a következő: konvex szögtartomány tetszőleges $P$ belső pontján keresztül húzható olyan egyenes, amelynek szögszárak közé eső szakaszát az adott $P$ pont felezi. A megoldáshoz középpontosan tükrözni kell az egyik szögszárat az adott $P$ pontra. A konvexitás miatt a tükrözött félegyenes metszi a másik szögszárat. Ez a pont lesz az egyik szakaszvégpont. Ezt a pontot a $P$-vel összekötve kapjuk a megfelelő egyenest. Az előbbi eredmény felhasználásával tekintsük a négyoldalú konvex térszöglet két-két szemben lévő félegyenese által meghatározott szögtartományokat, továbbá ezek metszetét, ami egy félegyenes. Ezt követően vegyünk ennek a metszésvonalnak a tartományba eső félegyenesén egy tetszőleges $K$ pontot, amely a paralelogramma középpontja lesz. Most használjuk fel az előbb idézett feladat eredményét, hogy konvex szögtartományban bármely ponthoz lehet úgy egy szakasz húzni, hogy a szakasz végpontjai a szárakon vannak, s a szakasz felezőpontja az adott pont. Ezt végezzük el a $K$ ponttal és a két szögtartománnyal. Így keletkezik négy olyan pont, ami két metsző egyenesen helyezkedik el, tehát egy síkban van, és a négyszög átlói felezik is egymást, tehát valóban egy paralelogrammát kapunk.   II. megoldás. Tekintsünk egy tetszőleges konvex testszögletet. Legyen a csúcsa $P$. Induljanak $P$-ből az $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ egységvektorok, melyek rendre a $P$-ből induló élekre illeszkednek, körüljárásuk egyik sorrendjében. Legyen $\alpha$ tetszőleges pozitív valós szám. Ismert, hogy a tér bármely vektora (egyértelműen) előállítható három nem komplanáris vektor lineáris kombinációjaként. A $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$ és $-\overrightarrow{c}$ vektorok nem komplanárisak, így léteznek olyan $\beta$, $\gamma$ és $\delta$ valós számok, hogy $\alpha \overrightarrow{a}=\beta \overrightarrow{b}+\delta \overrightarrow{d}+\gamma \left(-\overrightarrow{c}\right)$. Ekkor $\gamma \overrightarrow{c}-\delta \overrightarrow{d}=\beta \overrightarrow{b}-\alpha \overrightarrow{a}$. Az egyenlet két oldalán lévő vektorok párhuzamosak egymással, hiszen egyenlőek, valamint kezdő és végpontjaik a négy ,,élen'' vannak ($\beta$, $\gamma$ és $\delta$ pozitívak, hiszen a konvexitás miatt $\alpha \overrightarrow{a}$ végpontja a $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{d}$ és $-\overrightarrow{c}$ vektorok által kifeszített térrészben van), így a rájuk illeszkedő sík paralelogrammát metsz ki a testszögletből.