Feladat:	B.4652	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kosztolányi Kata
Füzet:	2015/május, 278 - 279. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Beírt kör, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: B.4652

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait a szokásos módon $A$, $B$, $C$-vel. Ha a háromszög derékszögű, pl. $\gamma ={90}^{\circ }$, akkor $AB$ a körülírt kör átmérője, ezért a körülírt körhöz az $A$-ban és $B$-ben húzott érintők párhuzamosak (1. ábra), tehát ebben az esetben az érintők nem alkotnak háromszöget. A továbbiakban feltesszük, hogy az $ABC$ háromszög nem derékszögű. Legyenek a körülírt körhöz a csúcsokban húzott érintők által alkotott háromszög csúcsai $A\text{'}$, $B\text{'}$ és $C\text{'}$, a körülírt kör középpontja pedig $K$. A kerületi és középponti szögek közti összefüggés alapján a körülírt kör $A$-t nem tartalmazó $BC$ ívéhez tartozó középponti szög $2\alpha$, a $B$-t nem tartalmazó $CA$ ívéhez tartozó középponti szög $2\beta$, a $C$-t nem tartalmazó $AB$ ívéhez tartozó középponti szög pedig $2\gamma$. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra, ezért $KA\perp B\text{'}C\text{'}$, $KB\perp C\text{'}A\text{'}$ és $KC\perp A\text{'}B\text{'}$. A továbbiakban megkülönböztetjük a hegyesszögű és a tompaszögű háromszög esetét.   1. ábra     2. ábra   Ha $ABC$ hegyesszögű (2. ábra), akkor a körülírt köre az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszögnek beírt köre. A $KAC\text{'}B$, $KBA\text{'}C$ és $KCB\text{'}A$ négyszögek húrnégyszögek, mert két-két szemközti szögük derékszög. A keresett szögek éppen ezen húrnégyszögek $K$-val szemközti szögei. Bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege ${180}^{\circ }$, ezért ebben az esetben az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög szögei ${180}^{\circ }-2\alpha$, ${180}^{\circ }-2\beta$ és ${180}^{\circ }-2\gamma$. Ha $ABC$ tompaszögű, akkor feltehetjük, hogy $\alpha >{90}^{\circ }$ (3. ábra). Ekkor az $ABC$ háromszög körülírt köre az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszögnek a $B\text{'}C\text{'}$ oldalához hozzáírt köre. Ebben az esetben a $KAC\text{'}B$, $KAB\text{'}C$ és $KCA\text{'}B$ négyszögek húrnégyszögek, mert két-két szemközti szögük derékszög. A keresett szögek most a $KCA\text{'}B$ húrnégyszög $K$-val szemközti szöge, valamint a $KAB\text{'}C$ és $KAC\text{'}B$ húrnégyszögek $K$-val szemközti csúcsnál lévő külső szögei. Bármely húrnégyszögben a szemközti csúcsnál lévő külső szög megegyezik az eredeti csúcsnál lévő belső szöggel, ezért ebben az esetben az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ háromszög szögei ${180}^{\circ }-\left({360}^{\circ }-2\alpha \right)=2\alpha -{180}^{\circ }$, $2\gamma$ és $2\beta$.   3. ábra     Megjegyzés. Nagyon sok megoldó (több, mint 60%) elfelejtkezett a nem hegyesszögű háromszögek vizsgálatáról. Pedig illett volna gyanút fogniuk akkor, amikor leírták, hogy a keresett szög pl. ${180}^{\circ }-2\alpha$, ami ugye ${90}^{\circ }<\alpha$, azaz tompaszögű háromszög esetén negatív.