A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Válasszunk ki a pontok közül négyet. Ezt -féleképpen tehetjük meg. A kiválasztott pontok (amiket jelöljön , , és ) vagy egy konvex-, vagy egy konkáv négyszög csúcsait adják meg. Bármely négyszögben a belső szögek összege . Ha a négyszög konvex, akkor legnagyobb szöge legalább . Ha ez pl. a csúcsnál van (1. ábra), akkor az öt pont által meghatározott háromszögek közül az biztosan nem hegyesszögű. Ha a négyszög konkáv, akkor feltehetjük, hogy a -nél lévő belső szöge nagyobb mint (2. ábra). Ezt a szöget a átló két részre osztja, ha ezek közül pl. az a nagyobb, akkor az háromszög tompaszögű.
![](upload/abr87/ab87587.png) 1. ábra
![](upload/abr87/ab87602.png) 2. ábra Tehát bármely négy pontot is választjuk, az általuk meghatározott háromszög közül legalább az egyik nem hegyesszögű. Az öt kiválasztás közül bármelyik ponthármas pontosan kettőben szerepel együtt (az , , hármashoz vagy -t, vagy az ötödik, pontot választhatjuk negyediknek), tehát egy adott nem hegyesszögű háromszöget legfeljebb két választásnál számolunk. Vagyis az öt pont által meghatározott nem hegyesszögű háromszögek száma legalább . De mivel ez a szám nyilván egész, ebből az is következik, hogy legalább . Tehát az öt pont által meghatározott háromszög között legfeljebb hegyesszögű van. |
|