Kezdőlap


Feladat:	B.4670	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csépai András , Gál Boglárka , Geng Máté , Gyulai-Nagy Szuzina , Heinc Emília , Juhász Dániel , Kerekes Anna , Khayouti Sára , Nagy Dávid Paszkál , Németh Balázs , Polgár Márton , Vankó Miléna , Williams Kada
Füzet:	2015/április, 222 - 224. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Szögfelező egyenes
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/december: B.4670

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek az

A

B

C

pontokból induló belső szögfelezők

f_{a}

f_{b}

f_{c}

. Az

A_{1} B_{1} C_{1}

középvonal háromszög belső szögfelezői legyenek

f_{a_{1}}

f_{b_{1}}

f_{c_{1}}

. Az

A B C

és

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögek oldalai páronként párhuzamosak és megfelelő szögeik egyenlők, ezért

f_{a_{1}} ∥ f_{a}

f_{b_{1}} ∥ f_{b}

f_{c_{1}} ∥ f_{c}

Ezért az

A_{1}

B_{1}

C_{1}

pontokból az

f_{a}

f_{b}

f_{c}

szögfelezőkre bocsájtott merőlegesek az

f_{a_{1}}

f_{b_{1}}

f_{c_{1}}

egyenesekre is merőlegesek lesznek, és így ezek lesznek az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

külső szögfelezői.
Egy háromszög két csúcsában húzott külső és a harmadik csúcsban húzott belső szögfelezője egy pontban, a háromszög hozzáírt körének középpontjában metszi egymást, ezért az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

külső szögfelezőinek

A_{2}

B_{2}

C_{2}

metszéspontjain rendre áthaladnak az

f_{a_{1}}

f_{b_{1}}

f_{c_{1}}

szögfelezők. Ezek rendre egybeesnek az

A_{1} A_{2}

B_{1} B_{2}

C_{1} C_{2}

egyenesekkel.

Vagyis az

A_{1} A_{2}

B_{1} B_{2}

C_{1} C_{2}

egyenesek az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

belső szögfelezői, ezért egy pontban metszik egymást.