Feladat:	B.4666	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gáspár Attila ,  Hansel Soma
Füzet:	2015/április, 221 - 222. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számsorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: B.4666

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Definiáljuk az $f_n$ függvényt a pozitív egész számpárokon a következőképpen: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_n\left(x\mathrm{,}y\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \mathrm{1,}}& {\displaystyle \text{ha }\left[\frac{n}{x}\right]\ge y\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{0,}}& {\displaystyle \text{ha }\left[\frac{n}{x}\right]<y\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Nyilván $f_n\left(x\mathrm{,}y\right)$ értéke pontosan akkor 1, ha $\frac{n}{x}\ge y$, vagyis ha $\frac{n}{y}\ge x$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle f_n\left(y\mathrm{,}x\right)=f_n\left(x\mathrm{,}y\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A bevezetett jelöléssel az összeg a következőképpen alakítható: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle {\sum }_{k=1}^n\left(2k-1\right)\left[\frac{n}{k}\right]={\sum }_{k=1}^n\left(2k-1\right)\left({\sum }_{j=1}^{\left[\frac{n}{k}\right]}1+{\sum }_{j=\left[\frac{n}{k}\right]+1}^{n}0\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle {\sum }_{k=1}^n\left(\left(2k-1\right){\sum }_{j=1}^n{f}_n\left(k\mathrm{,}j\right)\right)={\sum }_{k=1}^n{\sum }_{j=1}^n\left(2k-1\right)f_n\left(k\mathrm{,}j\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^n\left(2k-1\right)f_n\left(j\mathrm{,}k\right)={\sum }_{j=1}^n\left({\sum }_{k=1}^{\left[\frac{n}{j}\right]}\left(2k-1\right)\cdot 1+{\sum }_{k=\left[\frac{n}{j}\right]+1}^n\left(2k-1\right)\cdot 0\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{\left[\frac{n}{j}\right]}\left(2k-1\right)={\sum }_{j=1}^n{\left[\frac{n}{j}\right]}^2={\sum }_{k=1}^n{\left[\frac{n}{k}\right]}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   II. megoldás. Megoldásomhoz ötletet adott a KöMaL Fórum: Érdekes matekfeladatok 3931. bejegyzése. Rajzoljunk oszlopdiagramot a derékszögű koordináta-rendszer első síknegyedébe úgy, hogy az $x$ tengely $k$-adik egységszakasza fölé ${\left[\frac{n}{k}\right]}^2$ magasságú oszlopot rajzolunk. Az oszlopok együttes területe ekkor a jobb oldal értékét adja, és az oszlopok ,,ereszkednek'', ahogy $k$ értéke nő. Most tekintsük ezt, mint sordiagramot: nézzük meg, milyen hosszú sor lóg ki az $y$ tengely a $\left({\left(k-1\right)}^2\right)$-ediktől a $k^2$-edik egységszakaszig terjedő tartományából. Mivel csak négyzetszám magasságú oszlopok vannak, az itt kilógó sorok együtt egy téglalapot alkotnak, melynek területe a két oldalának a szorzata. Az egyik oldala $2k-1$, a másik pedig az a hossz, amennyire ez benyúlik. A téglalap addig tart, amíg az $a$-adik oszlop magassága legalább $k^2$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left[\frac{n}{a}\right]}^2\ge k^2\mathrm{,}{\left(\frac{n}{a}\right)}^2\ge k^2\mathrm{,}{\left(\frac{n}{k}\right)}^2\ge a^2\mathrm{,}\frac{n}{k}\ge a\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $a$ egész, azért $\left[\frac{n}{k}\right]\ge a$. Tehát a sorok által alkotott $k$-adik téglalap területe $\left(2k-1\right)\left[\frac{n}{k}\right]$; ezzel azt kaptuk, hogy a bal oldali összeg is a diagram területét adja. Ezzel bizonyítottuk az állítást.