Kezdőlap


Feladat:	B.4664	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dobák Dávid
Füzet:	2015/április, 220 - 221. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: B.4664

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Készítsük el a feladatban szereplő betűzésekkel az ábrát.

A B C

háromszög szögeit a szokásos módon rendre

α

β

γ

-val jelöljük. Fejezzük ki az állításban szereplő szögeket az

α

β

γ

segítségével.
Az

A C E ∢ = C A B ∢ = α

, mert váltószögek. Az

E C A

háromszög derékszögű, átfogója

A C

, ennek felezőpontja

L

. Az

E

és

F

pontok az

A C

szakasz Thalész-körén helyezkednek el,

A L = F L = E L = C L

. Az

E L C

háromszög egyenlő szárú, így

L E C ∢ = L C E ∢ = α

, tehát

E L C ∢ = 180^{\circ} - 2 α

. Hasonlóan számolható az

F L A ∢

szög is,

F L A ∢ = 180^{\circ} - 2 γ

. A két előbbi alapján

\begin{matrix} E L F ∢ = 180^{\circ} - E L C ∢ - F L A ∢ = 180^{\circ} - 180^{\circ} + 2 α - 180^{\circ} + 2 γ = 2 α + 2 γ - 180^{\circ} . \end{matrix}

A feladatban szereplő másik két szögre ugyanezzel a gondolatmenettel kapjuk, hogy

\begin{matrix} I K D ∢ & = & 180^{\circ} - C K D ∢ - I K B ∢ = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2 β) - (180^{\circ} - 2 γ) = \\ = & 2 β + 2 γ - 180^{\circ}, \\ G J H ∢ & = & 180^{\circ} - A J G ∢ - H J B ∢ = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2 β) - (180^{\circ} - 2 α) = \\ = & 2 β + 2 α - 180^{\circ} . \end{matrix}

Végül a három kifejezett szög összege:

\begin{matrix} E L F ∢ + I K D ∢ + G J H ∢ = 4 α + 4 β + 4 γ - 3 \cdot 180^{\circ} = 4 (α + β + γ) - 3 \cdot 180^{\circ} = 180^{\circ} . \end{matrix}

A feladat állítását igazoltuk.