Feladat:	B.4662	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Török Tímea
Füzet:	2015/április, 219 - 220. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Egybevágósági transzformációk, Háromszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: B.4662

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $ACF\sphericalangle$, $CEB\sphericalangle$ és $BDA\sphericalangle$ ${60}^{\circ }$-os szögek, mivel szabályos háromszögek csúcsairól van szó. Vegyünk fel egy tetszőleges $P_1$ pontot. Forgassuk el ezt $F$ pont körül pozitív irányba ${60}^{\circ }$-kal, ekkor megkapjuk a $P_2$ pontot. Ezt követően a $P_2$-t forgassuk el $E$ körül pozitív irányba ${60}^{\circ }$-kal, ekkor kapjuk a $P_3$ pontot. Végül a $P_3$ pontot forgassuk el a $D$ körül pozitív irányba ${60}^{\circ }$-kal, ekkor jutunk a $P_4$ ponthoz. Egymás után három azonos irányú ${60}^{\circ }$-os forgatást végeztünk el, tehát egy $3\cdot {60}^{\circ }={180}^{\circ }$-os forgatást. A ${180}^{\circ }$-os forgatás egy középpontos tükrözésnek felel meg. A háromszögek szabályossága miatt $A$-t ${60}^{\circ }$-kal pozitív irányba $F$ körül elforgatva a $C$ ponthoz jutunk, ezt $E$ körül pozitív irányba ${60}^{\circ }$-kal elforgatva a $B$ pontot kapjuk meg, ezt pedig $D$ körül pozitív irányba szintén ${60}^{\circ }$-kal elforgatva visszakapjuk az $A$ pontot. Tehát az összesen ${180}^{\circ }$-os forgatást elvégezve $A$-ból visszajutunk $A$-ba, tehát $A$ a fixpontja a középpontos tükrözésnek.     Azt látjuk, hogy $P_1$-et $A$-ra tükrözve a $P_4$ pontot kaptuk. Mivel középpontosan tükröztünk, az $A$ pont éppen a $P_1{P}_4$ szakasz felezőpontja. Így az $A$ pontot a leírtak alapján meg is tudjuk szerkeszteni. $A$-ból pedig megszerkeszthető a háromszög többi csúcsa is: $A$-t pozitív irányba $F$ körül elforgatva megkapjuk a $C$ pontot, $C$-t $E$ körül pozitív irányba szinén ${60}^{\circ }$-kal elforgatva megkapjuk a $B$ pontot is. Tehát megszerkesztettük az $ABC$ háromszöget. Előfordulhat a szerkesztés során, hogy nem létezik a $P_1{P}_4$ szakasz, mivel a két pont egybeesik. Ekkor $P_1$ a középpontos tükrözés fixpontja, vagyis éppen a keresett $A$ csúcs. Ezután a szerkesztés az előbb leírtak szerint, két forgatással fejezhető be.