Feladat:	B.4651	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kocsis Júlia
Füzet:	2015/április, 217. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Prímtényezős felbontás, Osztók száma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: B.4651

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \text{...}\cdot p_{\ell }^{k_{\ell }}$ prímtényezős felbontású pozitív egész szám pozitív osztóinak száma $\begin{array}{c}{\displaystyle d\left(n\right)=\left(k_1+1\right)\left(k_2+1\right)\text{...}\left(k_{\ell }+1\right)=\prod _{i=1}^{\ell }\left(k_i+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Ha az egzotikus szám páratlan, akkor minden osztója is csak páratlan lehet, tehát az osztók száma is páratlan. A fentiek alapján az osztók számát úgy kaptuk, hogy mindegyik prímkitevőhöz egyet adtunk és ezeket összeszoroztuk. Látjuk, hogy $k_i+1$ minden $i=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}\ell$ esetén páratlan szám, vagyis minden $k_i$ páros. Az $n$ szám mindegyik prímtényezőjének kitevője páros, az $n$ négyzetszám. $b)$ Tekintsük az  $n=p^{p-1}$ alakú pozitív egészeket, ahol $p$ páratan prímszám. Mivel a prímszámok száma végtelen, ezekből a számokból végtelen sok van. Az ilyen alakú számok osztóinak száma $d\left(n\right)=p-1+1=p$, tehát $d\left(n\right)\mid n$. Ezzel végtelen sok egzotikus számot találtunk.   Megjegyzés: A feladat $b)$ kérdésére bár a legtöbben a fenti konstrukciót választották, további érdekes egzotikus számokat is mutattak a versenyzők. A teljesség igénye nélkül ezek közül néhány: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^2\cdot p^2\mathrm{,}{2}^3\cdot p\mathrm{,}{2}^{2^m-1}\mathrm{.}}\end{array}$