Feladat:	B.4648	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vághy Mihály
Füzet:	2015/április, 215 - 216. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tetraéderek, Térgeometriai számítások trigonometriával, Vektorok skaláris szorzata
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: B.4648

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenlő oldalú tetraéder szemközti élei egyenlő hosszúak, így a bennfoglaló paralelepipedon lapjain az átlók egyenlők, vagyis a paralelogramma lapok téglalapok, a bennfoglaló paralelepipedon téglatest. A tetraéder élei a bennfoglaló téglatest lapátlói, így a téglatest élei Pitagorasz-tételek segítségével számolhatók: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2+b^2=\mathrm{281,}{b}^2+c^2=\mathrm{169,}{c}^2+a^2=400.}\end{array}$ Az egyenletrendszer megoldása $a=16$, $b=5$, $c=12$. Helyezzük el a tetraédert célszerűen a koordináta-rendszerben: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\left(\mathrm{0,0,0}\right)\mathrm{,}B\left(\mathrm{16,5,0}\right)\mathrm{,}C\left(\mathrm{16,0,12}\right)\mathrm{,}D\left(\mathrm{0,5,12}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel két-két-két él megegyezik, ezért három különböző hajlásszög van. Legyenek az $ABC$, $ACD$, az $ABC$, $ABD$, valamint az $ACD$, $ABD$ síkok által meghatározott hajlásszögek rendre ${\phi }_1$, ${\phi }_2$, ${\phi }_3$. Az $ABC$ sík esetében az $\overrightarrow{AB}$ és $\overrightarrow{AC}$ vektorok mindegyikére merőleges $\underline{n}\left(U\mathrm{,}V\mathrm{,1}\right)$ vektor lesz a sík normálvektora. Ez mindkét, nem párhuzamos vektorra merőleges: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot \underline{n}}& {\displaystyle =16U+5V=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overrightarrow{AC}\cdot \underline{n}}& {\displaystyle =16U+12=0.}\hfill \end{array}}$ Ebből az egyenletrendszerből $\underline{n}\left(-\frac{3}{4}\mathrm{,}\frac{12}{5}\mathrm{,1}\right)$, illetve az ezzel párhuzamos ${\underline{n}}_{ABC}\left(\mathrm{15,}-\mathrm{48,}-20\right)$. Az $A$ ponton átmenő $ABC$ sík egyenlete ez alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle 15x-48y-20z=0.}\end{array}$ Hasonló számolással az $ACD$ sík egyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle -15x-48y+20z=0.}\end{array}$ A két sík normálvektora $\begin{array}{c}{\displaystyle {\underline{n}}_{ABC}\left(\mathrm{15,}-\mathrm{48,}-20\right)\mathrm{,}{\underline{n}}_{ACD}\left(-\mathrm{15,}-\mathrm{48,20}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a normálvektorok merőlegesek a megfelelő síkra, illetve ‐ jelen esetben ‐ a szögtartománnyal ellentétes irányba mutatnak, ha skalárszorzatukat vesszük, megkapjuk az általunk keresett ${\phi }_1$ hajlásszög kiegészítő szögét. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle {\underline{n}}_{ABC}\cdot {\underline{n}}_{ACD}=|{\underline{n}}_{ABC}|\cdot |{\underline{n}}_{ACD}|\cdot \text{cos}\left({180}^{\circ }-{\phi }_1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{\phi }_1=-\frac{-{15}^2+{48}^2-{20}^2}{{15}^2+{48}^2+{20}^2}=-\frac{1679}{2929}\mathrm{,}{\phi }_1\approx 124\mathrm{,}{98}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ A további szögek meghatározásához az $ABD$ sík normálvektora $\begin{array}{c}{\displaystyle {\underline{n}}_{ABD}\left(\mathrm{15,}-\mathrm{48,20}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az előzőhöz teljesen hasonló számítással, figyelembe véve a skaláris szorzat felírásánál, hogy a tetraéder belseje felé, vagy ellentétes irányba mutatnak a normálvektorok, megkapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\phi }_2=\text{arccos}\frac{2129}{2929}\approx 43\mathrm{,}{38}^{\circ }\mathrm{,}\text{illetve}{\phi }_3=\text{arccos}\frac{2479}{2929}\approx 32\mathrm{,}{18}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$