Feladat:	B.4645	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gál Boglárka
Füzet:	2015/április, 213 - 214. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Teljes indukció módszere, Konstruktív megoldási módszer, Számhalmazok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: B.4645

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a $H_1\cup H_2$ halmaz összes elemének szorzatát $A$-val. Az a sejtés, hogy $k=2n+1$ minden $n$-re megfelelő választás. Ezt teljes indukcióval igazoljuk. Adott $n$ esetén jelölje $k_n$ és $A_n$ a megfelelő $k$, illetve $A$ értéket. $i)$ $n=1$-re $k_1=3$, $H_1=\left\{1\right\}$, $H_2=\left\{4\right\}$. Látható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle H_1\cup H_2=\left\{\mathrm{1,4}\right\}\mathrm{,}\text{ így }{A}_1=1\cdot \mathrm{4,}\text{ ami négyzetszám.}}\end{array}$ $ii)$ Az indukciós feltevés alapján ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A_n}& {\displaystyle =1\cdot 3\cdot 5\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1\right)\cdot \left(1+k\right)\left(3+k\right)\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1+k\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =1\cdot 3\cdot 5\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1\right)\cdot \left(1+2n+1\right)\left(3+2n+1\right)\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1+2n+1\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =1\cdot 3\cdot 5\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1\right)\cdot \left(2n+2\right)\left(2n+4\right)\cdot \text{...}\cdot \left(4n\right)}\hfill \end{array}}$ négyzetszám. $iii)$ Most igazoljuk az állítást $n+1$-re. A $k_{n+1}=2n+3$ beírásával ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle A_{n+1}}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1\right)\cdot \left(2n+1\right)\left(1+2n+3\right)\left(3+2n+3\right)\cdot \text{...}\cdot }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \cdot \left(2n-1+2n+3\right)\left(2n+1+2n+3\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdot \text{...}\cdot \left(2n-1\right)\cdot \left(2n+1\right)\left(2n+4\right)\left(2n+6\right)\cdot \text{...}\cdot \left(4n+2\right)\left(4n+4\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \frac{A_n}{2n+2}\left(2n+1\right)\left(4n+2\right)\left(4n+4\right)=\frac{A_n}{2n+2}\left(2n+1\right)2\left(2n+1\right)2\left(2n+2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle A_n\cdot 4\cdot {\left(2n+1\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az indukciós feltevés szerint $A_n$ négyzetszám, így $A_{n+1}$ is az. Tehát létezik minden $n$-hez alkalmas $k$, nevezetesen $k=2n+1$.