Feladat:	B.4637	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Seress Dániel
Füzet:	2015/április, 212 - 213. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Feltételes valószínűség, események
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: B.4637

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Egy összecsapásban, ha a felek harcképessége $a$ és $b$, akkor az $a$, illetve $b$ harcképességű fél rendre $\frac{a}{a+b}$, illetve $\frac{b}{a+b}$ valószínűséggel győz. Tehát Bedevir és az $n$-edik ellenfele közötti összecsapásban Bedevir győzelmének $B_n$ valószínűsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle B_n=\frac{1}{1+\frac{1}{2^{n+1}-1}}=\frac{2^{n+1}-1}{\left(2^{n+1}-1\right)+1}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$ Becsüljük a tagokat alulról: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}& {\displaystyle =1-\frac{1}{2^{n+1}}>1-\frac{1}{2^{n+1}-1}=\frac{\left(2^{n+1}-1\right)-1}{2^{n+1}-1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}=\frac{2\left(2^n-1\right)}{2^{n+1}-1}=2\cdot \frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Legyen Bedevir ellenfeleinek száma $k$. Ekkor ‐ mivel az összecsapások egymástól függetlenek ‐ annak a valószínűsége, hogy Bedevir lesz a torna győztese: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle P_k\left(B\right)}& {\displaystyle ={\prod }_{n=1}^k{B}_n={\prod }_{n=1}^k\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}>{\prod }_{n=1}^{k}2\cdot \frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}=2^k{\prod }_{n=1}^k\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2^k\cdot \frac{2-1}{4-1}\cdot \frac{4-1}{8-1}\cdot \text{...}\cdot \frac{2^{k-1}-1}{2^k-1}\cdot \frac{2^k-1}{2^{k+1}-1}=2^k\cdot \frac{1}{2^{k+1}-1}>\frac{2^k}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát tetszőleges (bármilyen nagy) $k$-ra $P_k\left(B\right)>\frac{1}{2}$. Mivel ez volt a feltétele Bedevir indulásának, ezért tetszőlegesen sok lovag jelentkezhetett a tornára (a jelentkezők száma Bedevirrel együtt $k+1$).