Feladat:	B.4624	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Nagy Odett
Füzet:	2015/április, 211 - 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trapézok, Háromszög területe, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: B.4624

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A négyszögeket az $MN$, illetve $NP$ átlók két-két háromszögre bontják, ezért ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T_{APCN}}& {\displaystyle =T_{APN}+T_{PCN}\text{és}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle T_{BNDM}}& {\displaystyle =T_{BNM}+T_{NDM}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     Az $MNP$ egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival. Ebből egyrészt a párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{MN}{AE}=\frac{NP}{EB}\mathrm{,}\text{vagyis}\frac{MN}{NP}=\frac{AE}{EB}}\end{array}$ következik, s mivel $E$ felezi az $AB$ szakaszt, ezért kapjuk, hogy $MN=NP$. Másrészt a párhuzamosság miatt a $PCN$ és $NDM$ háromszögek $C$ illetve $D$, valamint az $APN$ és $BNM$ háromszögek $A$, illetve $B$ csúcsaihoz tartozó magasságok is megegyeznek. Ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{APN}=T_{BNM}\text{és}{T}_{PCN}=T_{NDM}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből a feladat állítása következik.