Feladat:	B.4623	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Péter
Füzet:	2015/április, 210 - 211. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszög területe, Maradékos osztás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: B.4623

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Először megmutatjuk, hogy a két-két szemközti háromszög területének szorzata egyenlő. Jelölje a hároszögek területét az ábra szerint $T_1$, $T_2$, $T_3$ és $T_4$. A háromszögeknek az egyik átlóhoz tartozó magasságai legyenek $m_1$ és $m_2$, ennek az átlónak az átlók metszéspontja által meghatározott szakaszai pedig legyenek $e_1$ és $e_2$. Ekkor ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2T_1=e_1{m}_1\mathrm{,}2T_2=e_2{m}_1\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2T_3=e_2{m}_2\text{és}2T_4=e_1{m}_2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle T_1{T}_3=\frac{e_1{e}_2{m}_1{m}_2}{4}=T_2{T}_4\mathrm{.}}\end{array}$     Ezért $T_1{T}_2{T}_3{T}_4={\left(T_1{T}_3\right)}^2$, vagyis a négy terület szorzata négyzetszám. Tudjuk, hogy a négyzetszámok 4-gyel osztva $0$ vagy $1$ maradékot adnak. Mivel a számok 4-es maradéka csak az utolsó két számjegyüktől függ, ezért ha egy szám $2014$-re végződik, akkor a 4-es maradéka megegyezik a $14$-nek a 4-es maradékával, azaz 2-vel. Tehát a területek szorzata nem végződhet $2014$-re.