Feladat: B.4566 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Balogh Tamás ,  Barabás Ábel ,  Di Giovanni Márk ,  Egyházi Anna ,  Fekete Panna ,  Geng Máté ,  Kabos Eszter ,  Kocsis Júlia ,  Kúsz Ágnes ,  Lajkó Kálmán ,  Leipold Péter ,  Machó Bónis ,  Maga Balázs ,  Nagy-György Pál ,  Nagy-György Zoltán ,  Schwarcz Tamás ,  Varga Rudolf ,  Viharos Loránd Ottó ,  Williams Kada 
Füzet: 2015/április, 204 - 206. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Vektorok, Pont körüli forgatás, Feladat, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/október: B.4566

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ABC, KCF, CKI, HLA, EAL, BDJ és JGB háromszögek egybevágóak, hiszen két azonos hosszúságú oldaluk egyenlő szöget zár be. (Például LE=HA=CA, AE=AB, valamint

HAE=360-90-90-CAB==180-CAB,
tehát
LEA=180-HAE=CAB.
A többi háromszögre is hasonlóan bizonyítható.) Az ábrán az egyvonalas, a kétvonalas, illetve a háromvonalas szakaszok páronként megkaphatóak egymásból egy valamelyik oldal hosszával, arra merőlegesen való eltolásból, illetve máshogy párosítva 90-os elforgatással. Például
FCKCBA,KCF=ABCésFCCB,
ezért az FCK háromszöget 90-os forgatás viszi a CBA háromszögbe, vagyis CKBA és egyenlő vele. Hasonlóan LABC és LA=BC, valamint JBAC és JB=AC. Mindebből következik, hogy CKBD és CK=BD, vagyis DBKC paralelogramma, így DC=BK. Hasonlóan LB=AG, LC=AF, BI=JC, JA=BH, EC=AK. Másrészt ABGKCB, mert három oldaluk egyenlő. Mivel ABKC, így a két háromszög 90-os forgatással megkapható egymásból, így AGKB is teljesül. Hasonlóan látható be a többi szakaszra is a merőlegesség.

 
 

Ezekből következik, hogy AKB=JAG (háromvonalas‐egyvonalas szög). Ugyanígy BLC=GAF (egyvonalas‐kétvonalas szög), valamint CJA=FAK (kétvonalas‐háromvonalas szög).
Tehát AKB+BLC+CJA=JAG+GAF+FAK=JAK, ami két háromvonalas szakasz által bezárt szög, melyek egymásból 90-os elforgatással kaphatók, tehát JAK=90.
Ezzel az állítást beláttuk.
 
Megjegyzések: 1. A B-nél lévő egyvonalas, illetve a C-nél lévő kétvonalas 90-os szögbe ugyanígy átforgathattuk volna a három szöget. 2. Hasonlóan belátható, hogy ECD=JAG és IBH=FAK, amiből látszik, hogy a feladat ekvivalens egy könnyebben megfogalmazható állítással: Ha egy tetszőleges ABC háromszögre kifele ABDE, BCFG és CAHI négyzeteket rajzolok, akkor FAG+HBI+ECD=90.

II. megoldás. BDJABC, mert D-nél és B-nél ugyanakkora szögek vannak és AB=BD, illetve BC=DJ. Hasonlóan BDJCKIHLAABC. Ezért AL=a, BJ=b és CK=c.

 
 

BJCACL, mert BJ=AC, BC=AL és JBC=γ+90=LAC. Hasonlóan ABLCKB és ABJKCA.
A bizonyítás további részében irányított szögekkel számolunk. Az eddigiekből következik, hogy
BLC+AKB+CJA==BLA+ALC+AKC+CKB+CJB+BJA==KBC+BCJ+JAB+ABL+LCA+CAK.

Tekintsük az AKB, a BLC és a CJA háromszögek belső szögeinek összegét:
3180=BAK+AKB+KBA+BLC+LCB+CBL++CJA+JAC+ACJ==(AKB+BLC+CJA)+(α+CAK)+(β+KBC)++(γ+LCA)+(β+ABL)+(α+JAB)+(γ+BCJ)==(AKB+BLC+CJA)+(2α+2β+2γ)++(CAK+KBC+LCA+ABL+JAB+BCJ)==(AKB+BLC+CJA)+2180+(AKB+BLC+CJA).

Tehát 180=2(AKB+BLC+CJA), azaz 90=AKB+BLC+CJA, és ezt kellett bizonyítani.
 
Megjegyzés. Nagyon sok megoldó az ábra miatt olyan következtetésre jutott, ami általános háromszögre nem teljesül. Ezt esetszétválasztással vagy irányított szögek használatával lehetett kiküszöbölni.

 
III. megoldás. Egy v vektor 90-kal való elforgatottját jelölje v', egy P pontét pedig P'.

 
 

Ekkor
AK=AC+CI+IK=-CA+CA'+CF==-CA+CA'+BC',
amiből
AK'=(-CA+CA'+BC')'==(-CA)'+(CA')'+(BC')'==-CA'-CA-BC.
Felírható, hogy AJ=AB+BD+DJ=AB+AB'+BC'.
Tudjuk, hogy AB+BC+CA=0, és így
(AB+BC+CA)'=AB'+BC'+CA'=0'=0,
így AB'+BC'=-CA' és AB=-BC-CA, tehát AK'=AJ. Tehát a K pont A körüli -90-os elforgatottja a J pont, a B pont elforgatottja az E pont, ezért az AKB elforgatottja az AJE. Emiatt AKB=AJE.
Hasonlóan belátható, hogy a BLC C körüli +90-os elforgatottja az FJC, ami miatt BLC=FJC.
Tehát AKB+BLC+CJA=AJE+FJC+CJA=FJE. Erről kéne belátni, hogy 90. Mivel JE=JD+DE, így
JE'=(JD+DE)'=(GB+DE)'=GB'+DE'=GF+DB=GF+JG=JF.
Tehát az F pont az E pont J körüli -90-os elforgatottja. Ezzel beláttuk, hogy FJE=90, a bizonyítást befejeztük.