|
Feladat: |
B.4559 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andi Gabriel Brojbeanu , Emri Tamás , Fekete Panna , Fonyó Viktória , Geng Máté , Győrfi-Bátori András , Jákli Aida Karolina , Katona Dániel , Lajkó Kálmán , Leipold Péter , Lengyel Ádám , Maga Balázs , Nagy-György Pál , Nagy-György Zoltán , Sándor Krisztián , Sárosdi Zsombor , Schwarcz Tamás , Simkó Irén , Szebellédi Márton , Szőke Tamás , Tulassay Zsolt , Williams Kada |
Füzet: |
2015/április,
203. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2013/szeptember: B.4559 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelölje az háromszög szögeit rendre , és . Legyen továbbá , és .
Az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlősége miatt ekkor , és . Tehát a háromszögben a -nél és -nél lévő szögek összege , ezért a háromszög harmadik szöge derékszög, vagyis . Ugyanígy kapjuk, hogy és . Az háromszögben tehát az csúcsból induló szögfelező merőleges a szemközti oldalra. Ezért a háromszögnek szimmetriatengelye, és . Viszont az egyenes -n is átmegy, tehát , vagyis a háromszög is egyenlőszárú. Ugyanígy kapjuk, hogy az és háromszögek is egyenlőszárúak, és ezen háromszögek szimmetriatengelye , illetve . A háromszögek hasonlóságának belátásához elegendő megmutatnunk, hogy alapon fekvő szögeik egyenlőek. Mivel , ezért . Ekkor az négyszögben a szemközti szögek összege | | vagyis a négyszög húrnégyszög. E húrnégyszög köréírt körében és ugyanahhoz a ívhez tartozó kerületi szögek, ezért . Ugyanígy kapjuk, hogy is húrnégyszög, amiből pedig következik. Tehát a , és háromszögek olyan egyenlőszárú háromszögek, melyeknek az alapon fekvő szögeik egyenlőek, ezért a háromszögek hasonlóak egymáshoz. |
|