Feladat: B.4559 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Andi Gabriel Brojbeanu ,  Emri Tamás ,  Fekete Panna ,  Fonyó Viktória ,  Geng Máté ,  Győrfi-Bátori András ,  Jákli Aida Karolina ,  Katona Dániel ,  Lajkó Kálmán ,  Leipold Péter ,  Lengyel Ádám ,  Maga Balázs ,  Nagy-György Pál ,  Nagy-György Zoltán ,  Sándor Krisztián ,  Sárosdi Zsombor ,  Schwarcz Tamás ,  Simkó Irén ,  Szebellédi Márton ,  Szőke Tamás ,  Tulassay Zsolt ,  Williams Kada 
Füzet: 2015/április, 203. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Szögfelező egyenes, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/szeptember: B.4559

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje az ABC háromszög szögeit rendre 2α, 2β és 2γ. Legyen továbbá AD∩EF=P, BE∩FD=M és CF∩DE=N.

 
 

Az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlősége miatt ekkor ADE∢=ABE∢=β, DEB∢=DAB∢=α és BEF∢=BCF∢=γ. Tehát a DEP háromszögben a D-nél és E-nél lévő szögek összege β+(α+γ)=90∘, ezért a háromszög harmadik szöge derékszög, vagyis AD⊥EF. Ugyanígy kapjuk, hogy BE⊥FD és CF⊥DE.
Az LAG háromszögben tehát az A csúcsból induló AP szögfelező merőleges a szemközti oldalra. Ezért AP a háromszögnek szimmetriatengelye, LA=GA és LP=PG. Viszont az AP egyenes D-n is átmegy, tehát LD=DG, vagyis a DGL háromszög is egyenlőszárú. Ugyanígy kapjuk, hogy az EHI és FKJ háromszögek is egyenlőszárúak, és ezen háromszögek szimmetriatengelye BE, illetve CF.
A háromszögek hasonlóságának belátásához elegendő megmutatnunk, hogy alapon fekvő szögeik egyenlőek. Mivel CKD∢=CKJ∢=90∘-γ, ezért DKL∢=90∘+γ. Ekkor az FDKL négyszögben a szemközti szögek összege
DKL∢+LFD∢=DKL∢+EFC∢+CFD∢=90∘+γ+β+α=180∘,
vagyis a négyszög húrnégyszög. E húrnégyszög köréírt körében DKF∢ és DLF∢ ugyanahhoz a DF ívhez tartozó kerületi szögek, ezért DKF∢=DLF∢. Ugyanígy kapjuk, hogy DEGH is húrnégyszög, amiből pedig DGE∢=DHE∢ következik.
Tehát a DGL, EHI és FKJ háromszögek olyan egyenlőszárú háromszögek, melyeknek az alapon fekvő szögeik egyenlőek, ezért a háromszögek hasonlóak egymáshoz.