Kezdőlap


Feladat:	4859. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fajszi Bulcsú , Mácz Andrea
Füzet:	2017/január, 52 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hővezetés, Stefan--Boltzmann-törvény, Áram hőhatása (Joule-hő)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/szeptember: 4859. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellenálláshuzal kezdeti ellenállása legyen $R_{1}$ , az akkumulátor feszültsége $U$ , a huzal sugara $r$ , a hossza kezdetben $ℓ_{1}$ . Ismerjük a huzal hőmérsékletét az első esetben ( $T_{1} = 37^{\circ}$ C), valamint a környezet hőmérsékletét ( $T_{0} = 27^{\circ}$ C).
A huzalt az átfolyó áram

\begin{matrix} P_{1} = U I_{1} = \frac{U^{2}}{R_{1}} \end{matrix}

(1)

teljesítménnyel melegíti. Ezzel a környezetnek leadott hő tart egyensúlyt, ami ‐ fémről lévén szó ‐ elsősorban hővezetés formájában történik. A hőközlés egyéb formáit (a konvekciót és a hősugárzást) most figyelmen kívül hagyjuk, feltételezzük, hogy ezek mértéke elhanyagolható a hővezetéshez képest.
A hővezetés képlete alapján

\begin{matrix} H = λ A \frac{Δ T}{Δ x} \end{matrix}

teljesítménnyel adja át a hőt a huzal a környezetének, ahol

λ

a huzal hővezetési tényezője,

A

a vezeték felületének nagysága, melyen át a hőátadás történik (hosszú, vékony huzal esetében

A \approx 2 r π ℓ

Δ T

a környezet és a huzal közti hőmérsékletkülönbség,

Δ x

pedig a huzal belseje és a környezet ,,átlagos távolsága''. (

Δ x

nagyságát nehéz lenne pontosan megadni, de erre nincs is szükség, elegendő azt tudnunk, hogy az értéke

ℓ

-től független állandó.)
Állandósult állapotban (amikor a huzal hőmérséklete időben már nem változik) az akkumulátor elektromos teljesítménye megegyezik a hőleadás teljesítményével:

\begin{matrix} P_{1} = H_{1}, vagyis \frac{U^{2}}{R_{1}} = λ A \frac{Δ T_{1}}{Δ x}, \end{matrix}

(2)

ahol

Δ T_{1} = T_{1} - T_{0} = 10^{\circ}

C.
A huzal ellenállása az

\begin{matrix} R = ϱ \frac{ℓ}{A'} \end{matrix}

általános képlet alapján számolható, amelyben

ϱ

a huzal anyagának fajlagos ellenállását,

ℓ

a huzal hosszát,

A'

pedig a huzal keresztmetszetét (

A' = r^{2} π

) jelöli. Ha a huzal egyharmadát levágjuk, akkor hossza kétharmadára csökken, a keresztmetszete nem változik, így ellenállása kétharmada lesz az eredetinek:

R_{2} = \frac{2}{3} R_{1}

. Mivel

U

állandó marad, az (1) összefüggés szerint az akkumulátor másfélszer nagyobb teljesítménnyel tudja melegíteni a huzalt, mint korábban:

\begin{matrix} P_{2} = \frac{3}{2} P_{1} . \end{matrix}

(Feltételezzük, hogy a hőmérsékletváltozás nem túl nagy, emiatt a fajlagos ellenállás hőfokfüggését figyelmen kívük hagyhatjuk.)
A huzal egyharmadának levágásakor

A

kétharmadára csökken (hiszen

A \sim ℓ

), így a környezeténél

Δ T_{2}

-vel magasabb hőmérsékletű huzal által leadott hőteljesítmény:

\begin{matrix} H_{2} = λ (\frac{2}{3} A) \frac{Δ T_{2}}{Δ x} . \end{matrix}

A ,,megcsonkított huzal'' állandósult hőmérsékleti állapotában

\begin{matrix} P_{2} = H_{2}, tehát \frac{3}{2} P_{1} = \frac{2}{3} λ (\frac{2}{3} A) \frac{Δ T_{2}}{Δ x} . \end{matrix}

(3)

A (2) és (3) egyenletekből következik, hogy a huzal és a környezet közti hőmérsékletkülönbség a második esetben

\begin{matrix} Δ T_{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} Δ T_{1} = 22, 5^{\circ} C, \end{matrix}

az új, állandósult hőmérséklet pedig

T_{2} = T_{0} + Δ T_{2} = 49, 5^{\circ} C

lesz.

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a huzal által felvett teljesítmény teljes egészében a hőmérsékleti sugárzásra fordítódik. Használjuk fel a Stefan‐Boltzmann-törvényt:

\begin{matrix} \frac{Δ Q}{Δ t} = ε \cdot σ \cdot A \cdot (T_{1}^{4} - T_{0}^{4}), \end{matrix}

ahol

T_{1}

a test (itt a vezeték) hőmérséklete,

T_{0}

pedig a környezet hőmérséklete.
Állandósult állapotban a kisugárzott hőteljesítmény megegyezik az

U^{2} / R

felvett elektromos teljesítménnyel. Az akkumulátor feszültsége a vezeték megrövidítésekor nem változik. Az ellenállás egyenesen arányos a vezeték hosszával, ezért levágás után

R

-ről

\frac{2}{3} R

-re csökken. Írjuk fel a felvett és leadott teljesítmények egyenlőségét a huzal levágása előtti és utáni (

T

hőmérsékletű) állapotára. Mivel

T_{1} = 310

T_{0} = 300

K, a kelvin mértékegységet (az egyszerűség kedvéért) elhagyva felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{U^{2}}{R} & = ε \cdot σ \cdot A \cdot (310^{4} - 300^{4}), \\ \frac{U^{2}}{\frac{2}{3} R} & = ε \cdot σ \cdot \frac{2}{3} A \cdot (T^{4} - 300^{4}) . \end{matrix}

A fenti egyenletek hányadosát képezve:

\begin{matrix} \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \frac{(T^{4} - 300^{4})}{(310^{4} - 300^{4})}, \end{matrix}

ahonnan a keresett hőmérséklet:

\begin{matrix} T = \sqrt[4]{\frac{9 \cdot (310^{4} - 300^{4})}{4} + 300^{4}} \approx 321 K \approx 48^{\circ} C . \end{matrix}

Megjegyzés. A kétféle megoldás eredménye ‐ jóllehet a hozzájuk tartozó gondolatmenet fizikai tartalma lényegesen különböző ‐ gyakorlatilag megegyezik. Ennek az a magyarázata, hogy viszonylag kicsiny hőmérsékletkülönbségek esetén a hősugárzás teljesítménye is ‐ jó közelítéssel ‐ a hőmérsékletkülönbség első hatványával arányos, éppen úgy, mint a hővezetéssel leadott teljesítmény. Emiatt kapjuk gyakorlatilag ugyanazt az eredményt, ha csak a sugárzással vagy csak a hővezetéssel számolunk, illetve ha mindkettőt (akármilyen arányban keverve) figyelembe vesszük.