Kezdőlap


Feladat:	4847. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mány Bence
Füzet:	2017/január, 51 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Fermat-elv
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/május: 4847. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tételezzük fel, hogy Ond akkor jut el leghamarabb Kondhoz, ha valameddig egyenesen fut a parton a tópartig, onnan ugyancsak egyenesen átúszik a túlsó partra, majd a parton egyenesen szalad tovább. Bebizonyítjuk, hogy ez hibás feltevés, a leírt útvonal nem lehet a legrövidebb idejű mozgás a két megadott pont között.
Legyen a vízbeugrás $P$ és a vízből kiszállás $Q$ pontja a tó $O$ csúcsától $x$ , illetve $y$ távolságra, amint azt az ábra mutatja. Ha a leírt mozgás a lehető legrövidebb idejű lenne, akkor minden más mozgás, például az is, amikor Ond a vízparton teszi meg az $x + y$ partszakaszt, hosszabb ideig kellene tartson. Mivel a szárazföldön Ond 5-ször gyorsabb, mint a vízben:

\begin{matrix} P O + O Q = x + y \geq 5 P Q . \end{matrix}

A vízben megtett út hossza a koszinusztétel felhasználásával

\begin{matrix} P Q = \sqrt[]{x^{2} + y^{2} - 2 x y cos 60^{\circ}} = \sqrt[]{x^{2} + y^{2} - x y} . \end{matrix}

A fenti egyenlőtlenség érvényessége esetén

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} \geq 25 (x^{2} + y^{2} - x y), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 24 x^{2} + 24 y^{2} - 27 x y \equiv {(4, 899 x - 2, 756 y)}^{2} + 16, 404 y^{2} \leq 0. \end{matrix}

Ez azonban csak

x = y = 0

esetén teljesülhet, vagyis amikor Ond egyáltalán nem megy be a vízbe, hanem a tó csücskét megkerülve végig a szárazföldön szalad. A legrövidebb idejű (legrövidebb hosszúságú) mozgás nyilván az ábrán szaggatott vonallal jelölt

A O

és

O B

egyeneseket követi.

Megjegyzés. A feladatot az optikából ismert Fermat-elv segítségével is megpróbálhatjuk megoldani. Az optikai analógia alapján egy

n = 5

törésmutatójú prizmában terjedő fénysugár útját kellene megkeresnünk. Ilyen, a törési törvényt követő fénysugarat azonban (geometriai okokból) nem találunk, tehát a fény a prizmán keresztül nem juthat el Ond eredeti helyétől Kondig.