Kezdőlap


Feladat:	4837. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szentivánszki Soma
Füzet:	2017/január, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb körfolyamatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/április: 4837. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hőerőgép termodinamikai hatásfoka

\begin{matrix} η = \frac{W^{*}}{Q_{fel}}, \end{matrix}

ahol

Q_{fel}

a körfolyamat során felvett hő,

W^{*}

pedig a gáz által végzett mechanikai munka. Ez utóbbi az ábrán látható háromszög területe:

\begin{matrix} W^{*} = \frac{0, 3 V_{0} (p^{*} - p_{0})}{2}, \end{matrix}

ami a

p^{*} = x p_{0}

jelöléssel így írható:

\begin{matrix} W^{*} = 0, 15 (x - 1) p_{0} V_{0} . \end{matrix}

(1) \to (2)

folyamatban felvett hő a gáz belső energiájának megváltozásával egyenlő:

\begin{matrix} Q_{1 - 2} = Δ E_{b} = \frac{f}{2} (x p_{0} V_{0} - p_{0} V_{0}) = 1, 5 (x - 1) p_{0} V_{0} . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a

W^{*} / Q_{1 - 2}

arány független

x

értékétől, nagysága 0,1.
Ha a körfolyamat során nemcsak az

(1) \to (2)

, hanem a

(2) \to (3)

szakaszon is történik hőfelvétel, akkor a hőerőgép hatásfoka biztosan kisebb, mint a fentebb számított

W^{*} / Q_{1 - 2}

arány, vagyis 10%. (A

(3) \to (1)

szakaszon, izobár összehúzódás során a gáz hőt ad le, ezzel tehát a hatásfok számításánál nem kell törődnünk.)
Azt, hogy a

(2) \to (3)

folyamat során történik-e hőfelvétel, a

p - V

diagramon látható egyenes meredeksége és az adiabaták ottani meredeksége dönti el. Az egyenes meredeksége mindvégig

\begin{matrix} m_{egyenes} = - \frac{p_{0} (x - 1)}{0, 3 V_{0}}, \end{matrix}

míg a

p V^{5 / 3} = állandó

egyenletű adiabaták meredeksége

\begin{matrix} m_{adiabata} = - \frac{5}{3} \frac{p}{V} . \end{matrix}

(Ez utóbbi differenciálszámítással, vagy abból a feltételből kapható meg, hogy a gázon végzett kicsiny munka éppen a belső energia megváltozását fedezi.) Akkor nincs sehol hőfelvétel a

(2) \to (3)

folyamatban, ha az egyenes minden pontjában teljesül, hogy a térfogat növekedésekor a gáz nyomása gyorsabb ,,ütemben'' csökken, mint amekkora az adiabatikus állapotváltozás nyomáscsökkenésének üteme:

\begin{matrix} | m_{egyenes} | \geq | m_{adiabata} |, vagyis \frac{p_{0} (x - 1)}{0, 3 V_{0}} \geq \frac{5}{3} \frac{p}{V} . \end{matrix}

Mivel a

p / V

hányados a (2) állapotban a legnagyobb, a fenti egyenlőtlenség akkor teljesül (2) és (3) között mindenhol, ha

\begin{matrix} \frac{p_{0} (x - 1)}{0, 3 V_{0}} \geq \frac{5}{3} \frac{x p_{0}}{V_{0}}, \end{matrix}

vagyis

x \geq 2

. A hatásfok tehát akkor maximális, ha

p^{*}

legalább

2 p_{0}

, és ez a maximum 10 százalék.