Kezdőlap


Feladat:	4800. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Forrai Botond
Füzet:	2017/január, 46 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Nyugalmi indukció
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/január: 4800. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert, hogy a véges hosszúságú szolenoid tekercs közepében a mágneses indukció nagysága

\begin{matrix} B = μ_{0} \frac{I_{2} (t) N_{2}}{ℓ} cos α, \end{matrix}

(1)

ahol

I_{2} (t)

a tekercsben folyó áram (pillanatnyi) erőssége,

N_{2} / ℓ

a menetsűrűség,

α

pedig a szolenoid záróköre sugarának látószöge a középpontból nézve (lásd pl. a KöMaL 2016. évi 1. számának 52‐53. oldalát). Esetünkben

\begin{matrix} cos α = \frac{ℓ}{\sqrt[]{ℓ^{2} + 4 r^{2}}} = 0, 9992 \approx 1, \end{matrix}

vagyis a szolenoid mágneses tere a tekercs belsejében jó közelítéssel a

\begin{matrix} B^{(szol.)} = μ_{0} \frac{I_{2} (t) N_{2}}{ℓ} \end{matrix}

(2)

képlet alapján számolható.
A szolenoid mágneses tere a tekercsen kívül igen gyenge, de nem nulla. A szórt tér úgy közelíthető, mintha a tekercs

Φ = B^{(szol.)} r^{2} π

nagyságú mágneses fluxusa a tekercs egyik végén elhelyezkedő

+ Φ

,,mágneses töltésből'' gömbszimmetrikusan indulna ki, és a tekercs másik végén lévő,

- Φ

erősségű mágneses töltésben végződne. A két ,,töltés'' eredő mágneses tere a szolenoid tengelyéhez közel, a toroid belsejében mindenhol (jó közelítéssel) a szolenoid tengelyével párhuzamos.
Nem szabad megfeledkeznünk arról sem, hogy a szolenoid menetein átfolyó

I

erősségű áram (hasonlóan a hosszú, egyenes vezetőhöz) a tekercsen kívül, annak tengelyétől

R

távolságban örvényes mágneses mezőt hoz létre. A mágneses indukció érintő irányú, és a nagysága az Amp

\overset{`}{e}

re-féle gerjesztési törvény szerint

\begin{matrix} B = μ_{0} \frac{I}{2 π R} . \end{matrix}

(3)

Ez a mágneses indukció (megfelelő áramirányok esetén) kivonódik a toroidtekercs ugyancsak érintő irányú,

\begin{matrix} B^{(tor.)} = μ_{0} \frac{N_{1} I_{1}}{2 π R} \end{matrix}

(4)

nagyságú mágneses indukciójából.
A feladat szövege nem részletezi a toroidtekercsben folyó

I_{1}

áram létrehozásának körülményeit. Ha például az áram egy szupravezető tekercsben folyik, akkor a szolenoid változó erősségű árama nem képes megváltoztatni a toroid belsejében a mágneses fluxust, tehát a mágneses tér erősségét sem. Amennyiben viszont a (hagyományos anyagú) toroidtekercs áramát állandó értéken tartjuk, akkor a feladatban megkövetelt változások létrehozhatók. A továbbiakban feltételezzük, hogy ez a helyzet.
Tegyük fel, hogy a toroid belsejében az érintő irányú mágneses indukció (a szolenoidban folyó,

I_{2} (t)

erősségű áram mágneses tere miatt)

t = t_{0}

pillanatban az eredeti értékének

λ

-szorosával csökken. Az

a)

esetben

λ = 1

, a

b)

esetben pedig

λ = 2

. Ennek feltétele (3) és (4) szerint:

\begin{matrix} I_{2} (t_{0}) = λ N_{1} I_{1} . \end{matrix}

(A megadott számadatok mellett az

I_{2}

áramnak meglehetősen nagynak kell lennie, de rövid ideig ezt kibírhatják a vezetékek.)
Az időben (egyenletesen) változó

I_{2} (t)

áram a (2) összefüggés szerint időben változó mágneses teret, és így időben változó mágneses fluxust hoz létre a szolenoidban:

\begin{matrix} Φ (t) = μ_{0} \frac{I_{2} (t) N_{2}}{ℓ} r^{2} π . \end{matrix}

A fluxusváltozás, aminek sebessége

\begin{matrix} \frac{Δ Φ}{Δ t} = \frac{Φ (t_{0})}{t_{0}} \end{matrix}

időben állandó, a Faraday-féle indukciótörvény szerint örvényes elektromos teret hoz létre a szolenoidot körülvevő minden zárt görbe, így a toroid középköre mentén is:

\begin{matrix} - \frac{Δ Φ}{Δ t} = E \cdot 2 R π, \end{matrix}

vagyis az indukált elektromos térerősség nagysága:

\begin{matrix} | E | = λ \frac{μ_{0} N_{1} N_{2} I_{1} r^{2}}{2 R ℓ t_{0}} = λ \cdot 0, 75 \frac{mV}{m} . \end{matrix}

A toroid középköre mentén tehát az

a)

esetben

0, 75 mV/m

, a

b)

esetben pedig

1, 5 mV/m

nagyságú elektromos térerősség alakul ki.

Megjegyzések. 1. A szolenoid mágneses tere a toroidtekercs mágneses terének érintő irányú komponensét képes kioltani, de a szórt tér hossztengely irányú konponense eközben nem válik nullává.
2. Hallgatólagosan feltételeztük, hogy a szolenoid áramköre a tekercsen kívül, attól elegendően távol (de mindenképpen a toroidteketcset elkerülve) záródik. Ha az áram közvetlenül a tekercs mellett jutna vissza a szolenoid egyik végétől a másikig, akkor a szolenoidon kívül a fenti megfontolásokban lényeges szerepet játszó ,,egyenes vezető mágneses hatása'' természetesen nem lépne fel.