Feladat:	4836. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tomcsányi Gergely
Füzet:	2016/november, 503 - 504. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/április: 4836. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Helyezzük a rudakat az 1. ábrán látható koordináta-rendszerbe, és használjuk az ott látható jelöléseket.   1. ábra   A rudak mozgása két részre bontható. Az első szakaszban a felső rúd az alsóra támaszkodik, tengelyeik távolsága $2R$. Egy bizonyos pillanatban azonban a rudak elválnak egymástól, ettől kezdve a felső rúd függőlegesen zuhan a talaj felé, az alsó pedig egyenletes sebességgel halad tovább vízszintesen. Jelölje az alsó rúd pillanatnyi sebességét $v_1$, a felső rúd függőleges sebességét pedig $v_2$. A mozgás első szakaszában az energiamegmaradás tétele szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{m}{2}\left(v_1^2+v_2^2\right)=mg\left(2R-y\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Üljünk bele ‐ képzeletben ‐ az alsó testtel együtt $v_1$ sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe. Abban a pillanatban, amikor a két rúd elválik egymástól, tehát a felső rúd éppen nem nyomja az alsót, ez a vonatkoztatási rendszer inerciarendszer, tehát a Newton-törvények a megszokott alakjukban érvényesek. A két test sebességét és gyorsulását a 2. ábrán tüntettük fel. A felső rúd tengelye (ebben a koordináta-rendszerben) $2R$ sugarú körpályán mozog az alsó, álló rúd tengelye körül.   2. ábra   A mozgás sebessége érintő irányú, emiatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=\frac{y}{x}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A felső rúdra az elválás pillanatában a függőleges fal sem fejt ki erőt, így a rúd gyorsulása függőlegesen lefelé $g$. Ezen gyorsulásnak az alsó rúd felé eső komponense a körmozgás centripetális gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle g\frac{y}{\sqrt[]{x^2+y^2}}=\frac{v_1^2+v_2^2}{\sqrt[]{x^2+y^2}}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1^2+v_2^2=gy\mathrm{.}}\end{array}$ (3)   Megjegyzés. A (2) és (3) összefüggést differenciálszámítás segítségével is megkaphatjuk. Az $x^2+y^2={\left(2R\right)}^2$ egyenlet idő szerinti kétszeri deriválásával kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x\dot{x}+y\dot{y}=0\text{és}x\mathrm{<mover\; accent="true">x<mo>¨</mo></mover>}+{\dot{x}}^2+y\mathrm{<mover\; accent="true">y<mo>¨</mo></mover>}+{\dot{y}}^2=0.}\end{array}$ Mivel $\dot{x}=v_1$, $\dot{y}=-v_2$, továbbá a rudak elválásának pillanatában $\mathrm{<mover\; accent="true">x<mo>¨</mo></mover>}=0$ és $\mathrm{<mover\; accent="true">y<mo>¨</mo></mover>}=-g$, ezek az összefüggések valóban (2)-vel és (3)-mal egyenértékűek.   Az (1), (2) és (3) egyenletekből $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{4}{3}R\text{és}x=\frac{2\sqrt[]{5}}{3}R\mathrm{,}}\end{array}$ illetve a sebességekre $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\sqrt[]{\frac{16}{27}Rg}\mathrm{,}{v}_2=\sqrt[]{\frac{20}{27}Rg}}\end{array}$ adódik. A mozgás második szakaszában az alsó rúd sebessége már nem változik, maximális értéke tehát $v_1^{\text{(max)}}=v_1$ lesz. A felső rúd sebessége viszont nem az elválás pillanatában a legnagyobb, hanem akkor, amikor földet ér. Legyen a felső rúd sebessége a földet éréskor $v_2^{\text{(max)}}$. A rendszer helyzeti energiájának a megváltozása a kezdőállapot és a felső rúd földet érése között $2Rmg$, mert a felső rúd tengelye $2R$-nyit süllyedt. A helyzet energia megváltozása megegyezik a rendszer mozgási energiájának megváltozásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2Rmg=\frac{1}{2}m{v}_2^{\text{(max)}}+\frac{1}{2}m{v}_1^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2^{\text{(max)}}=2\sqrt[]{\frac{23}{27}Rg}\mathrm{,}}\end{array}$ a maximális sebességek aránya pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v_2^{\text{(max)}}}{v_1^{\text{(max)}}}=\frac{\sqrt[]{23}}{2}\approx 2\mathrm{,}4.}\end{array}$