Feladat:	2016. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2016/november, 493 - 496. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb áramkörök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: 2016. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   2. feladat. Nemlineáris dinamika elektromos áramkörökben A rész. Stacionárius állapotok és instabilitások A.1. A kért adatok a grafikonról leolvashatók: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle R_{\text{be}}}& {\displaystyle =1\mathrm{,}00\Omega \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle R_{\text{ki}}}& {\displaystyle =10\mathrm{,}0\Omega \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle I_0}& {\displaystyle =6\mathrm{,}00\text{A}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle R_{\text{k}}}& {\displaystyle =2\mathrm{,}00\Omega \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A.2. Az áramkörre felírva a huroktörvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{E}=IR+U\mathrm{,}\text{amiből}I=\frac{\text{E}-U}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ Az áramkör stacionárius állapotait ennek az egyenesnek és az áramkör $I$‐ $U$ karakterisztikájának metszéspontjai adják meg. $R=3\mathrm{,}00\Omega$ esetében mindig 1 metszéspont van, $R=1\mathrm{,}00\Omega$ esetében pedig $\text{E}$ értékétől függően 1, 2 vagy 3 metszéspont lehetséges. A.3. A stacionárius megoldás a középső ágra esik, így használhatjuk az arra vonatkozó összefüggést: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle I_{\text{st}}}& {\displaystyle =\frac{\text{E}-R_{\text{k}}{I}_0}{R-R_{\text{k}}}=3\mathrm{,}00\text{A}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle U_{\text{st}}}& {\displaystyle =R_{\text{k}}\left(I_0-I_{\text{st}}\right)=6\mathrm{,}00\text{V}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A.4. A huroktörvény alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{E}=RI+U_{\text{X}}+L\frac{\text{d}I}{\text{d}t}=RI+R_{\text{k}}\left(I_0-I\right)+L\frac{\text{d}I}{\text{d}t}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle L\frac{\text{d}I}{\text{d}t}=\text{E}-R_{\text{k}}{I}_0-\left(R-R_{\text{k}}\right)I\mathrm{.}}\end{array}$ Eszerint, ha $I>I_{\text{st}}$, akkor $\text{d}I/\text{d}t<0$, azaz az áramerősség csökken, ha $I<I_{\text{st}}$, akkor $\text{d}I/\text{d}t>0$, azaz az áramerősség nő, tehát a stacionárius állapot stabil.   B rész. Bistabil, nemlineáris áramköri elemek a fizikában: rádióadó B.1. Az oszcilláció a 4. ábrán látható.   4. ábra   A versenyzőktől a következő magyarázatokat várták el (a maximális pontszámhoz ezek közül legalább hármat): 1. A feszültség az ugrás közben állandó, mert a kondenzátor feszültsége nem változhat pillanatszerűen. 2. A közbülső ág nem lehet része az oszcillációs ciklusnak, mert az ottani állapotok stabilak. 3. Azért történnek ugrások az $I$‐ $U$ karakterisztika töréspontjainál, mert ezekben a pontokban nincs más lehetősége a rendszernek. 4. A rendszer a bekapcsolt ágon balra mozog, mert így közelít a stacionárius állapothoz (amely azonban nem része az $I$‐ $U$ grafikonnak). 5. A rendszer a kikapcsolt ágon jobbra mozog, mert így közelít a stacionárius állapothoz (amely azonban nem része az $I$‐ $U$ grafikonnak). B.2. Mivel a nemlineáris áramköri elem a bekapcsolt ág és a kikapcsolt ág között ugrál, a feszültsége ilyen alakban írható fel: $U_{\text{X}}=R_{\text{be/ki}}{I}_{\text{X}}$. Az áramkör mindkét ágon soros $RC$-körként viselkedik $C$ kapacitással és $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{R_{\text{be/ki}}R}{R_{\text{be/ki}}+R}}\end{array}$ ellenállással (hiszen az $R$ ellenállás és az $X$ elem párhuzamosan vannak kötve). Az áramkör időtényezője: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\tau }_{\text{be/ki}}=\frac{R_{\text{be/ki}}R}{R_{\text{be/ki}}+R}C\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a be- vagy a kikapcsolt ágat a töréspontokon túl is meghosszabbítanánk, akkor az áramkör hosszú idő után a stacionárius állapotba érkezne, és a feszültsége $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{be/ki}}\left(\infty \right)=\frac{R_{\text{be/ki}}}{R_{\text{be/ki}}+R}\text{E}}\end{array}$ lenne. A nemlineáris elemen eső feszültség az állandósult állapot $U_{\text{be/ki}}\left(\infty \right)$ feszültségének és az exponenciálisan lecsengő feszültségtagnak az összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{\text{X}}\left(t\right)=U_{\text{be/ki}}\left(\infty \right)+\left[U_{\text{be/ki}}\left(0\right)-U_{\text{be/ki}}\left(\infty \right)\right]e^{-\frac{t}{{\tau }_{\text{be/ki}}}}\mathrm{.}}\end{array}$ A rendszer által a bekapcsolt ágon töltött idő (egy ciklusban): $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{\text{be}}={\tau }_{\text{be}}\text{ln}\frac{U_{\text{k}}-U_{\text{be}}\left(\infty \right)}{U_{\text{t}}-U_{\text{be}}\left(\infty \right)}=2\mathrm{,}41\cdot {10}^{-6}\text{s}\mathrm{,}}\end{array}$ a kikapcsolt ágon töltött idő pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{\text{ki}}={\tau }_{\text{ki}}\text{ln}\frac{U_{\text{ki}}\left(\infty \right)-U_{\text{t}}}{U_{\text{ki}}\left(\infty \right)-U_{\text{k}}}=3\mathrm{,}67\cdot {10}^{-6}\text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ Az oszcilláció teljes periódusideje tehát: $T=t_{\text{be}}+t_{\text{ki}}=6\mathrm{,}08\cdot {10}^{-6}\text{s}$. B.3. Hanyagoljuk el a kikapcsolt ágon felhasznált energiát! A bekapcsolt ágon felhasznált energiát közelítsük a következőképp: $\begin{array}{c}{\displaystyle E\approx \frac{1}{R_{\text{be}}}{\left(\frac{U_{\text{t}}+U_{\text{k}}}{2}\right)}^2{t}_{\text{be}}=1\mathrm{,}2\cdot {10}^{-4}\text{J}\mathrm{.}}\end{array}$ A teljesítmény ebből (közelítőleg): $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{E}{T}\approx 20\text{W}\mathrm{.}}\end{array}$ B.4. A rádiójel hullámhossza: $\lambda =cT=1\mathrm{,}82\cdot {10}^3\text{m}$. Az antenna optimális hossza $\lambda /4$ (vagy $3\lambda /4$, $5\lambda /4$, stb.) A feltételeknek megfelelő egyetlen lehetséges választás: $s=\lambda /4=456\text{m}$.   C rész. Bistabil, nemlineáris áramköri elemek a biológiában: neurisztor C.1. Ha a telep feszültsége $\text{E}\text{'}=12\mathrm{,}0\text{V}$, az állandósult állapot a kikapcsolt ágon lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle U\text{'}=\frac{R_{\text{ki}}}{R+R_{\text{ki}}}\text{E}\text{'}=9\mathrm{,}23\text{V}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a telep feszültségét ismét $\text{E}=15\mathrm{,}0\text{V}$ értékre növeljük, akkor a rendszer állapota elkezd jobbra mozogni a kikapcsolt ágon (ugyanúgy, mint a B részben). Ha a telep feszültsége még azelőtt újra lecsökken, hogy az elem feszültsége eléri a küszöbfeszültséget, akkor a rendszer egyszerűen visszamegy a stacionárius állapotba. Az $X$ áramköri elem áramának időfüggését az 5. ábrán vázoltuk.   5. ábra   Ha viszont az elem feszültsége eléri a küszöbfeszültséget, akkor a rendszer felugrik a bekapcsolt ágra, és végigjár egy teljes oszcillációs ciklust (hiszen $\tau <T$), mielőtt visszaérkezik a stacionárius állapotba. Az $X$ áramköri elem áramának időfüggése vázlatosan a 6. ábrán látható.   6. ábra   C.2. A kritikus idő a küszöbfeszültség eléréséhez szükséges idő (amit a B.2 részben megismert módon számíthatunk ki): $\begin{array}{c}{\displaystyle {\tau }_{\text{k}}={\tau }_{\text{ki}}\text{ln}\frac{U_{\text{ki}}\left(\infty \right)-U\text{'}}{U_{\text{ki}}\left(\infty \right)-U_{\text{k}}}=9\mathrm{,}36\cdot {10}^{-7}\text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ C.3. Mivel $\tau >{\tau }_{\text{k}}$, a rendszer végrehajt egy oszcillációt, tehát az áramkör ilyenkor neurisztor.