Feladat:	4823. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bekes Nándor
Füzet:	2016/október, 440 - 442. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gördülés lejtőn
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/március: 4823. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A feladat szövegében leírt furcsa, instabil mozgás nyilván megvalósulhat, ha a ,,lejtő'' vízszintes és a testek nem gyorsulnak. A továbbiakban az $\alpha \ne 0$ esettel foglalkozunk. Jelölje az egyes gömbök középpontjának gyorsulását $a$ (mivel a két test egymáshoz képest nem mozog, $a$ értéke mindkettőjüknél ugyanakkora), a szöggyorsulásukat pedig ${\beta }^{\left(m\right)}$ és ${\beta }^{\left(M\right)}$ (1. ábra).   1. ábra   Az alsó gömb tisztán gördül a lejtőn, emiatt a szöggyorsulása $\begin{array}{c}{\displaystyle {\beta }^{\left(M\right)}=\frac{a}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A gömbök egymással érintkező pontjai a gömbök középpontjához viszonyítva ugyancsak $a$ nagyságú, vízszintes irányú gyorsulással mozognak, emiatt $\begin{array}{c}{\displaystyle {\beta }^{\left(m\right)}=\frac{a}{r}}\end{array}$ (2) is teljesül. Írjuk fel a $m$ tömegű gömb forgómozgásának egyenletét! Ha a gömbök között ható nyomóerő nagysága $N_1$, a súrlódási erő pedig $S_1$ (ahogy azt a 2. ábra mutatja), akkor a forgás dinamikai egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_{1}r={\Theta }^{\left(m\right)}{\beta }^{\left(m\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (${\Theta }^{\left(m\right)}=\frac{2}{5}m{r}^2$ a felső gömb tehetetlenségi nyomatéka.) Ez az egyenlet (2) és a tehetetlenségi nyomaték képletének felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle S_1=\frac{2}{5}ma}\end{array}$ (3) alakra hozható.   2. ábra   Felírhatjuk még a $m$ tömegű gömb tömegközéppontjára vonatkozó Newton-féle mozgásegyenletet is. A testre ható három erő eredője $ma$ nagyságú és párhuzamos a lejtővel. A 3. ábráról leolvasható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{S_1}{ma}=\frac{\frac{2}{5}ma}{ma}=\frac{2}{5}\mathrm{,}\text{azaz}\alpha \approx 66\mathrm{,}{4}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Csak ekkora hajlásszögű lejtőn maradhat meg a $m$ tömegű gömb a másik ($M$ tömegű) gömbön. (Érdekes, hogy a kritikus hajlásszög sem a testek tömegétől, sem pedig a sugarak nagyságától nem függ.)   3. ábra   Jelöljük a $M$ tömegű, ${\Theta }^{\left(M\right)}=\frac{2}{5}M{R}^2$ tehetetlenségi nyomatékú gömbre ható erőket a 4. ábrán látható módon. Ezen test forgómozgásának egyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(S_2-S_1\right)R={\Theta }^{\left(M\right)}{\beta }^{\left(M\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből (1) és (3) felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle S_2=\frac{2}{5}\left(m+M\right)a}\end{array}$ (4) következik.   4. ábra   Utolsó lépésként alkalmazzuk Newton II. törvényét a két gömbből álló rendszer egészére. (Ezt azért tehetjük meg, mert mindkét test tömegközéppontjának gyorsulása ugyanakkora. Jóllehet a két gömb nem alkot merev testet, de a lejtő menti mozgás szempontjából úgy kezelhetők, mint egyetlen $m+M$ tömegű merev test.) A gömbök között ható (belső) erőket nem kell figyelembe vennünk, hiszen azok összege nulla, így csak a nehézségi erők és a lejtő mentén ható súrlódási erő eredőjével kell számolnunk: $\left(m+M\right)g\text{sin}\alpha -S_2=\left(m+M\right)a$. Kihasználva a súrlódási erő (4)-ben szereplő alakját és a lejtő hajlásszögének ismert értékét, a keresett gyorsulásra az $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{5}{7}g\text{sin}\alpha =\sqrt[]{\frac{3}{7}}g\approx 6\mathrm{,}4\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ eredményt kapjuk. (Figyelemre méltó, hogy az $a$ gyorsulás sem a testek tömegétől, sem pedig a sugarától nem függ.)