Kezdőlap


Feladat:	4813. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Radnai Bálint
Füzet:	2016/október, 439 - 440. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hídkapcsolás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/február: 4813. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A hivatkozott cikk szerint¹ a feladatban szereplő hídkapcsolás eredő ellenállása:

\begin{matrix} R_{A B} = \frac{2 R_{1} R_{2} + (R_{1} + R_{2}) X}{R_{1} + R_{2} + 2 X} . \end{matrix}

a)

R_{A B} = X

akkor teljesül, ha fennáll

\begin{matrix} \frac{2 R_{1} R_{2} + (R_{1} + R_{2}) X}{R_{1} + R_{2} + 2 X} = X, vagyis X^{2} = R_{1} R_{2} . \end{matrix}

Ezek szerint ha a középső ellenállás

R_{1}

és

R_{2}

mértani közepe, akkor az eredő ellenállás is ugyanekkora nagyságú lesz.

b)

Vizsgáljuk meg, hogy van-e megoldása a

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{R_{1}^{2} + R_{2}^{2}}{2}} = \frac{2 R_{1} R_{2} + (R_{1} + R_{2}) X}{R_{1} + R_{2} + 2 X} \end{matrix}

(1)

egyenletnek.
Ismert, hogy két szám négyzetes középértéke biztosan nem kisebb, mint a számtani középértékük, és az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a két szám megegyezik. Emiatt (1) érvényessége esetén érvényes a

\begin{matrix} \frac{2 R_{1} R_{2} + (R_{1} + R_{2}) X}{R_{1} + R_{2} + 2 X} \geq \frac{R_{1} + R_{2}}{2}, \end{matrix}

vagyis az

{(R_{1} + R_{2})}^{2} + 2 (R_{1} + R_{2}) X - 4 R_{1} R_{2} - 2 (R_{1} + R_{2}) X \equiv {(R_{1} - R_{2})}^{2} \leq 0

egyenlőtlenség. Ez azonban csak

R_{1} = R_{2}

esetén teljesülhet. Ilyenkor (és csak ilyenkor) a négyzetes és a számtani közepek egyenlőek, és (1) ‐ tetszőlegesen választható

X

mellett ‐ valóban fennáll.

¹Légrádi Imre: A hídkapcsolás eredő ellenállása és áramerősségei, KöMaL 2016. évi 2. szám, 107. oldalon a

(*)

képlet.