Feladat:	B.4663	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2015/március, 161. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: B.4663

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Vizsgáljuk az egyenlet bal oldalán lévő kifejezés 9-es maradékát. Először megmutatjuk, hogy a köbszámok 9-es maradéka 0, 1 vagy 8 lehet. Legyen ugyanis $a=9k+m$, ahol $k$ és $m$ egészek, és $0\le m\le 8$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3={\left(9k+m\right)}^3=9^3{k}^3+3\cdot 9^2{k}^{2}m+3\cdot 9k{m}^2+m^3=9N+m^3\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $N$ egész, és $m^3$ értékei: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 0^3=\mathrm{0,}{1}^3=\mathrm{1,}{2}^3=\mathrm{8,}{3}^3=27=9\cdot \mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4^3=64=9\cdot 7+\mathrm{1,}{5}^3=125=9\cdot 13+\mathrm{8,}{6}^3=9\cdot \mathrm{24,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 7^3=343=9\cdot 38+\mathrm{1,}{8}^3=512=9\cdot 56+8.}\hfill \end{array}}$ Ennek alapján a bal oldalon a lehetséges 9-es maradékok a 0, 1, 2, 3, 6, 7 vagy 8. Tehát a két oldal 9-es maradéka semmilyen $x$, $y$ egész számra sem egyezik meg, ezért az egyenletnek nincs egész megoldása.