Feladat:	B.4654	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Geng Máté
Füzet:	2015/március, 160 - 161. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszög nevezetes vonalai, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása, Ceva-tétel
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/október: B.4654

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. I. Tegyük fel, hogy $ED$ párhuzamos $AB$-vel. Ekkor a párhuzamos szelők tétele miatt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB}\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $AF=FB$ miatt következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=\mathrm{1,}}\end{array}$ azaz a Ceva-tétel megfordításának értelmében az $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek egy ponton mennek át. II. Tegyük fel, hogy az $AD$, $BE$ és $CF$ egyenesek egy ponton mennek át. Ekkor Ceva tételének értelmében igaz, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=\mathrm{1,}}\end{array}$ amiből $AF=FB$ miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=\mathrm{1,}}\end{array}$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{CE}{EA}=\frac{CD}{DB}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből a párhuzamos szelők tételének megfordítását felhasználva következik, hogy $ED$ párhuzamos $AB$-vel.     Ezzel a feladat állítását beláttuk.