Feladat:	B.4646	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zsakó Ágnes
Füzet:	2015/március, 160. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Feladat, Paraméteres egyenlőtlenségek, Esetvizsgálat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: B.4646

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenlőtlenség bal oldala és a jobb oldal nevezője mindig pozitív, ezért az egyenlőtlenség biztosan teljesül, ha $p$ értéke negatív vagy nulla. A továbbiakban $p$ pozitív értékeit vizsgáljuk. Szorozzunk a pozitív $\text{sin}{}^{3}x$-szel, és használjuk az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\text{tg}{}^{2}x}=\frac{\left(1-\text{sin}x\right)\left(1+\text{sin}x\right)}{\text{sin}{}^{2}x}}\end{array}$ azonosságot: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+\text{sin}x\right)}^3\ge p\text{sin}x\left(1-\text{sin}x\right)\left(1+\text{sin}x\right)\mathrm{,}}\end{array}$ illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+\text{sin}x\right)}^2\ge p\text{sin}x\left(1-\text{sin}x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezés után a következő másodfokú egyenlőtlenséget kapjuk $\text{sin}x$-re: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+p\right)\text{sin}{x}^2+\left(2-p\right)\text{sin}x+1\ge 0.}\end{array}$ Itt $p\le 2$ esetén a bal oldal minden tagja nemnegatív, ezért az egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül. Ha $p>2$, akkor abban az esetben, amikor az $\left(1+p\right)y^2+\left(2-p\right)y+1=0$ egyenletnek valósak a gyökei, a gyökök összege $p-2>0$, szorzatuk pedig az ugyancsak pozitív $\frac{1}{1+p}<\frac{1}{3}$. Ilyenkor tehát mindkét gyök pozitív és legalább egyikük kisebb 1-nél, ezért ‐ alkalmas $x$-re ‐ előáll $\text{sin}x$ alakban. Ha a két valós gyök különböző, akkor mindkettőnek van olyan környezete, ahol a másodfokú kifejezés értéke negatív. Az egyenlőtlenség tehát a $p>2$ esetben pontosan akkor teljesül, ha a diszkrimináns nem pozitív: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\ge {\left(2-p\right)}^2-4\left(1+p\right)=p^2-8p=p\left(p-8\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis ha $p\le 8$. Tehát a feladat feltételének a $p\le 8$ számok tesznek eleget.