Feladat:	B.4643	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Borbényi Márton ,  Kovács Dávid ,  Szajbély Zsigmond
Füzet:	2015/március, 157 - 158. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/szeptember: B.4643

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Vizsgáljuk meg a két oldal 3-mal való lehetséges  osztási maradékait. A bal oldal: $n^3-n-1=n\left(n^2-1\right)-1=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-1$. Látható, hogy a kapott különbség első tagja mindig osztható 3-mal, hiszen 3 egymást követő egész szám szorzata. Ebből a szorzatból még kivonunk 1-et, tehát a bal oldal 3-mal osztva (minden $n$ egészre) 2-t ad maradékul. A jobb oldal: $k^2-k+1=k\left(k-1\right)+1$. Mivel $k$ egész, az összeg első tagja csak $k=3l+2$ (ahol $l$ egész) esetén lesz 3-mal nem osztható. Ha 3-mal osztható az első tag, akkor a jobb oldal 3-mal osztva 1-et ad maradékul, ami kizárja az egyenlőség lehetőségét a bal oldallal. A továbbiakban tehát csak $k=3l+2$ alakú számok esetén vizsgáljuk a jobb oldalt. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle k^2-k+1={\left(3l+2\right)}^2-\left(3l+2\right)+1=9l^2+9l+3=3\cdot \left(3l^2+3l+1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a jobb oldal osztható 3-mal. Vagyis beláttuk, hogy a bal oldal mindig 2-t, a jobb oldal pedig 1-et vagy 0-t ad osztási maradékul a 3-mal való osztásnál. Ezzel bebizonyítottuk, hogy nem léteznek olyan $n$ és $k$ egész számok, amelyekre teljesülne az egyenlet.   II. megoldás. Rendezzük át az egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle n^3-n-1}& {\displaystyle =k^2-k+\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k^2-k-n^3+n+2}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Tekintsük $n$-et paraméternek, ekkor az egyenlet $k$-ban másodfokú, és így $k_{\mathrm{1,2}}=\frac{1\pm \sqrt[]{D}}{2}$, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle D=1-4\left(-n^3+n+2\right)=4n^3-4n-7=4\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-9+2.}\end{array}$ A $k$ csak akkor lehet egész szám, ha $D$ négyzetszám. A jobb oldali összeg első két tagja osztható 3-mal, így $D$-nek a 3-mal való osztási maradéka 2. Ha egy szám $3p+1$ alakú, akkor ${\left(3p+1\right)}^2=9p^2+6p+1$; ha $3p+2$ alakú, akkor ${\left(3p+2\right)}^2=9p^2+12p+3+1$. Mindkét esetben a 3-mal való osztási maradék 1. Ez viszont azt jelenti, hogy $D$ nem lehet négyzetszám, így $k$ nem lehet egész szám, vagyis nem léteznek olyan $n$ és $k$ egész számok, amelyekre teljesülne az egyenlet.