Feladat:	B.4632	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna ,  Csernák Tamás ,  Csilling Tamás ,  Di Giovanni Márk ,  Fonyó Viktória ,  Győrfi-Bátori András ,  Hansel Soma ,  Janzer Orsolya Lili ,  Katona Dániel ,  Kovács Márton ,  Mándoki Sára ,  Nagy Kartal ,  Nagy-György Pál ,  Radnai Bálint ,  Schwarz Tamás ,  Szebellédi Márton ,  Tóth Viktor ,  Vágó Ákos ,  Vu Mai Phuong ,  Williams Kada
Füzet:	2015/március, 150 - 151. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai szerkesztések, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: B.4632

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az adott egyenes és a lap szélének a metszéspontjai legyenek $A$, $B$, $C$ és $D$, a két egyenes metszéspontja $M$, az adott pont pedig $P$ (1. ábra).   1. ábra   Alkalmazzunk az $ABCD$ négyszögre egy $P$ középpontú, $\frac{1}{2}$ arányú kicsinyítést. Ezt könnyen megtehetjük, hiszen az $AP$, $BP$, $CP$ és $DP$ szakaszok $A_1$, $B_1$, $C_1$ és $D_1$ felezőpontjai a papírra esnek. Az $A_1{D}_1$ és $B_1{C}_1$ egyenesek metszéspontja adja az $M$ pont képét, $M_1$-et, és $P$, $M_1$ és $M$ egy egyenesen vannak. Tehát, ha az $M_1$ pont a papírra esik, akkor a $P{M}_1=PM$ egyenes megszerkeszthető. Ha $M_1$ még nem esik a papírra, akkor folytathatjuk az eljárást az $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ négyszög $P$ pontra vonatkozó, $\frac{1}{2}$ arányú kicsinyítésével. Ha a keletkező $M_2$ pont sem esik a papírra, akkor az eljárást mindaddig folytatjuk, amíg az $M_n$ pont már a papírra fog esni. Ez véges lépésben elérhető. A keresett egyenes a $P{M}_n$ lesz.   II. megoldás. Rajzoljunk egy olyan kört, ami teljesen ráfér a papírra, nem megy át egyik egyenesen sem, és az adott $P$ pont nem egyezik meg a kör $O$ középpontjával. Szerkesszük meg a két egyenesnek erre a körre vonatkozó inverzét. Ekkor a két egyenes két metsző, $O$ ponton átmenő körbe megy át, ezek az $A\text{'}B\text{'}O$ és $C\text{'}D\text{'}O$ körök. A két kör $O$ ponton kívüli másik, $M\text{'}$ metszéspontja lesz a papíron kívül eső $M$ pont inverz képe. A $PM$ egyenes inverz képe egy olyan kör lesz, ami átmegy az $O$, $P\text{'}$ és $M\text{'}$ pontokon. Ezt a kört meg tudjuk szerkeszteni, majd egy olyan $K\text{'}$ pontját invertálva, aminek a képe a papírlapra esik, megkapjuk a $PK=PM$ egyenest (2. ábra).   2. ábra   Ezek a szerkesztések elvégezhetők, hiszen ha adott egy egyenes két pontja, akkor megszerkeszthető az inverz képe és fordítva.