Feladat: B.4627 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szebellédi Márton 
Füzet: 2015/március, 150. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2014/április: B.4627

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Legyen CAB=α, ekkor CBA=β=90-α. A kerületi szögek tétele miatt:
CPA=CBA=90-α,
hasonlóan
BAQ=CAQ=CPQ=α2.
Így OAK=OPK=α2, ezért OKPA húrnégyszög.

 
 

Az OKPA húrnégyszög köré írt körben OKA=OPA=90-α, mivel azonos íven nyugvó kerületi szögek.
Hosszabbítsuk meg OK-t, legyen OK és AC metszéspontja D. A háromszög belső szögeinek összege 180, ezért
KDA=180-DKA-DAK=90.
Így KDA=90. Az O-nak az AC-re való merőleges vetülete az E pont. Ebből következik, hogy D=E, tehát E, O és K kollineárisak.