Feladat:	B.4622	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Williams Kada
Füzet:	2015/március, 148 - 149. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Konstruktív megoldási módszer, Számelrendezések
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: B.4622

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a keresett összeg $S$, és jelöljük a táblázatba írt számokat az $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$, $i$ betűkkel a következő ábra szerint: ${\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>b</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>c</mi></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>e</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>i</mi></math> }}\hfill \\ \hline\end{array}}$ Ha összeadjuk a $2\times 2$-es négyzeteken belüli összegeket, akkor a sarokmezőkbe írt számokat egyszer számoljuk, a középső mezőbe írtat négyszer, a fennmaradó négy mezőbe írt számokat pedig kétszer. Mivel az összes szám összege $1+2+\text{...}+9=45$, ezért $4S=45+3e+\left(b+d+f+h\right)$. Mivel a $b$, $d$, $e$, $f$, $h$ számok az $\left\{\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,9}\right\}$ halmaz különböző elemei, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle 3e+\left(b+d+f+h\right)=2e+\left(b+d+e+f+h\right)\ge 2\cdot 1+\left(1+2+3+4+5\right)=\mathrm{17,}}\end{array}$ hiszen $e\ge 1$ és a $\left(b+d+e+f+h\right)$ összeg legalább akkora, mint az öt legkisebb elem összege. Így $4S\ge 45+17=62$, és ezért $S\ge 16$, hiszen $S$ egész. Most tekintsünk egy olyan kitöltött táblázatot, amely teljesíti a feltételt, és mindegyik $2\times 2$-es négyzetben a számok összege $S$. Cseréljük le minden $x$ elemét $10-x$-re, ekkor a táblázatba írt számok ugyancsak $10-9=\mathrm{1,10}-8=\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,10}-1=9$ lesznek. Sőt, így is fennáll, hogy bármely $2\times 2$-es részben a számok összege azonos: értéke $40-S$, hiszen ha az $x$, $y$, $z$, $t$ számok voltak eredetileg valamely $2\times 2$-es részben, ahol $x+y+z+t=S$, akkor helyükre $10-x$, $10-y$, $10-z$, $10-t$ kerül, ezek összege pedig $40-\left(x+y+z+t\right)=40-S$. Tudjuk, hogy bármely megfelelő táblázatban $S\ge 16$, így mivel az előbbi cserével is olyan táblázathoz jutunk, amelyben a $2\times 2$-es részek összege ugyanannyi, ezért $40-S\ge 16$ is fennáll. Tehát $16\le S\le 24$, vagyis $S$ értéke csak a $\left[\mathrm{16,24}\right]$ intervallumba eső egész szám lehet. Ezek az értékek valóban lehetségesek, amint azt a következő kitöltések mutatják: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6 }}\hfill \\ \hline\end{array}}{\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill \\ \hline\end{array}}{\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill \\ \hline\end{array}}{\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill \\ \hline\end{array}}{\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{1 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{8 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Ez az 5 táblázat az $S=\mathrm{16,17,18,19,20}$ értékekre mutat példát. A fent említett cserével ezekből az ezeket 40-re kiegészítő értékekre, azaz $S=\mathrm{24,23,22,21}$ esetén is megfelelő táblázat kapható. Tehát a $2\times 2$-es résztáblázatokban a számok összege $\mathrm{16,17,}\text{...}\mathrm{,24}$ lehet.