Kezdőlap


Feladat:	B.4618	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Andó Angelika , Cseh Kristóf , Di Giovanni Márk , Dinev Georgi , Fekete Panna , Forrás Bence , Gáspár Attila , Győrfi -Bátori András , Gyulay-Nagy Szuzina , Kovács Márton , Lajkó Kálmán , Machó Bónis , Maga Balázs , Mócsy Miklós , Nagy-György Pál , Schwarz Tamás , Simkó Irén , Szakács Lili Kata , Szegi Bogát , Williams Kada
Füzet:	2015/március, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Húrsokszögek, Érintősokszögek, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: B.4618

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a sokszög köré írt körének középpontja

K

C_{i}

pont rajta van az

A_{i} A_{i + 1}

O A_{i}

és

O A_{i + 1}

felező merőlegesén. Ezek talppontjai sorban

F_{i}

S_{i}

S_{i + 1}

. Az

O A_{i}

szögfelező, ezért

\begin{matrix} α_{i} = O A_{i} A_{i - 1} ∢ = O A_{i} A_{i + 1} ∢ . \end{matrix}

K F_{i - 1} A_{i} F_{i}

négyszögben a belső szögek összege

\begin{matrix} 360^{\circ} = 2 α_{i} + 2 \cdot 90^{\circ} + F_{i - 1} K F_{i} ∢, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} F_{i - 1} K F_{i} ∢ = 180^{\circ} - 2 α_{i} . \end{matrix}

Jelöljük

O A_{i}

és

F_{i} K

metszéspontját

M

-mel. Az

A_{i} M F_{i}

és

C_{i} M S_{i}

derékszögű háromszögek hasonlók, mert

M

-nél fekvő hegyesszögük közös. Emiatt

M C_{i} S_{i} ∢ = K C_{i} S_{i} ∢ = α_{i}

. Az eddigiek alapján a

K C_{i - 1} C_{i}

háromszögben

K C_{i} C_{i - 1} ∢ = α_{i}

C_{i} K C_{i - 1} ∢ = 180^{\circ} - 2 α_{i}

, így

K C_{i - 1} C_{i} ∢ = α_{i}

. Beláttuk, hogy a

K C_{i - 1} C_{i}

háromszög egyenlő szárú,

K C_{i - 1} = K C_{i}

. Ez bármely két szomszédos kör középpontjaira teljesül, tehát a

C_{i}

pontok mind egy

K

körüli körön helyezkednek el.