Feladat:	B.4614	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Schwarcz Tamás
Füzet:	2015/március, 143. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számsorozatok, Sorozat határértéke
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/március: B.4614

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Ha $n=1$, akkor $x_1=y_1=1$, és így a feladatban kérdezett minimum értéke 0. A továbbiakban a $2\le n$ esettel foglalkozunk. Mivel az $x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ nemnegatív számok összege 1, és $x_1$ közülük a(z egyik) legkisebb, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le x_1\le \frac{x_1+\text{...}+x_n}{n}=\frac{1}{n}\mathrm{.}}\end{array}$ Ehhez hasonlóan $0\le y_1\le \frac{1}{n}$, és így $|x_1-y_1|\le \frac{1}{n}$ is teljesül. Tehát a $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\overset{}{\text{min}}}|x_i-y_i|\le \frac{1}{n}}\end{array}$ egyenlőtlenség mindig teljesül. Másrészt, ha például a két sorozat $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=x_2=\text{...}=x_n=\frac{1}{n}\text{és}{y}_1=\text{...}=y_{n-1}=\mathrm{0,}{y}_n=\mathrm{1,}}\end{array}$ akkor $|x_1-y_1|=\text{...}=|x_{n-1}-y_{n-1}|=\frac{1}{n}$, és $|x_n-y_n|=1-\frac{1}{n}\ge \frac{1}{n}$. Tehát léteznek olyan sorozatok, amelyekre $\underset{1\le i\le n}{\overset{}{\text{min}}}|x_i-y_i|=\frac{1}{n}$, azaz az $\frac{1}{n}$-es becslés nem javítható. Ezzel beláttuk, hogy $n\ge 2$ esetén a feladat $a)$ kérdésére a válasz $\frac{1}{n}$. $b)$ Mindkét sorozat tagjai nemnegatív számok, ezért ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i|}& {\displaystyle =|x_n-y_n|+{\sum }_{i=1}^{n-1}|x_i-y_i|\le |x_n-y_n|+{\sum }_{i=1}^{n-1}\left(x_i+y_i\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\underset{}{\overset{}{\text{max}}}\left(x_n\mathrm{,}{y}_n\right)-\underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(x_n\mathrm{,}{y}_n\right)+1-x_n+1-y_n=2-2\underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(x_n\mathrm{,}{y}_n\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel az $x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ számok összege 1, és $x_n$ közülük a(z egyik) legnagyobb, ezért $x_n\ge \frac{1}{n}$, és ehhez teljesen hasonlóan $y_n\ge \frac{1}{n}$ is igazolható. Így $2-2\underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(x_n\mathrm{,}{y}_n\right)\le 2-\frac{2}{n}$, vagyis a kérdéses összeg legfeljebb $2-\frac{2}{n}$ lehet. Azonban az $a)$ rész megoldásában szereplő sorozatokra láttuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle |x_1-y_1|=\text{...}=|x_{n-1}-y_{n-1}|=\frac{1}{n}\text{és}|x_n-y_n|=1-\frac{1}{n}\mathrm{,}}\end{array}$ így a ${\sum }_{i=1}^n|x_i-y_i|$ összeg értéke éppen $2-\frac{2}{n}$. Tehát az összeg lehetséges legnagyobb értéke $2-\frac{2}{n}$.