Feladat: B.4609 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Badacsonyi István András ,  Baran Zsuzsanna ,  Bereczki Zoltán ,  Csépai András ,  Csernák Tamás ,  Di Giovanni Márk ,  Fekete Panna ,  Fonyó Viktória ,  Gyulay-Nagy Szuzina ,  Kabos Eszter ,  Katona Dániel ,  Kovács Márton ,  Kúsz Ágnes ,  Lajkó Kálmán ,  Maga Balázs ,  Mócsy Miklós ,  Nagy Gergely ,  Nagy-György Pál ,  Szőke Tamás ,  Várkonyi Dorka ,  Williams Kada 
Füzet: 2015/március, 140 - 141. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Skatulyaelv, Egészrész, törtrész függvények
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2014/február: B.4609

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy a legkisebb ilyen szám c=1n+1. Először is, ha a1=a2=...=an=1n+1, akkor a lehetséges összegek 1n+1,2n+1,...,nn+1, vagyis 1n+1-nél kisebb c-re nem teljesül az állítás. Most megmutatjuk, hogy c=1n+1-re már teljesül. Legyenek tehát a1,a2,...,an tetszőleges valós számok. Tekintsük az si=a1+a2+...+ai összegeket (1in). Ha ezek között van olyan, amelynek törtrésze legfeljebb 1n+1, vagy legalább nn+1, akkor készen is vagyunk, hiszen egy ilyen összegnek a legközelebbi egésztől vett eltérése legfeljebb 1n+1. Ha pedig nincs köztük ilyen, akkor a skatulya-elv miatt az
[1n+1,2n+1],[2n+1,3n+1],...,[n-1n+1,nn+1]
intervallumok közül legalább az egyikbe két összeg is esik, mondjuk si és sj (ahol i<j). Ekkor viszont az sj-si=ai+1+...+aj összeg legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb 1n+1. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.