|
Feladat: |
B.4609 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Badacsonyi István András , Baran Zsuzsanna , Bereczki Zoltán , Csépai András , Csernák Tamás , Di Giovanni Márk , Fekete Panna , Fonyó Viktória , Gyulay-Nagy Szuzina , Kabos Eszter , Katona Dániel , Kovács Márton , Kúsz Ágnes , Lajkó Kálmán , Maga Balázs , Mócsy Miklós , Nagy Gergely , Nagy-György Pál , Szőke Tamás , Várkonyi Dorka , Williams Kada |
Füzet: |
2015/március,
140 - 141. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Skatulyaelv, Egészrész, törtrész függvények |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2014/február: B.4609 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Azt fogjuk igazolni, hogy a legkisebb ilyen szám . Először is, ha , akkor a lehetséges összegek , vagyis -nél kisebb -re nem teljesül az állítás. Most megmutatjuk, hogy -re már teljesül. Legyenek tehát tetszőleges valós számok. Tekintsük az összegeket (). Ha ezek között van olyan, amelynek törtrésze legfeljebb , vagy legalább , akkor készen is vagyunk, hiszen egy ilyen összegnek a legközelebbi egésztől vett eltérése legfeljebb . Ha pedig nincs köztük ilyen, akkor a skatulya-elv miatt az | | intervallumok közül legalább az egyikbe két összeg is esik, mondjuk és (ahol ). Ekkor viszont az összeg legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb . Ezzel igazoltuk a feladat állítását. |
|