Feladat: B.4605 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Baran Zsuzsanna ,  Csépai András ,  Csernák Tamás ,  Di Giovanni Márk ,  Forrás Bence ,  Gyulay-Nagy Szuzina ,  Kúsz Ágnes ,  Lajkó Kálmán ,  Maga Balázs ,  Molnár-Sáska Zoltán ,  Nagy Kartal ,  Nagy-György Pál ,  Schwarz Tamás ,  Simkó Irén ,  Szebellédi Márton ,  Szőke Tamás ,  Williams Kada ,  Zsók Bianka 
Füzet: 2015/március, 140. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Valós számok és tulajdonságaik, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2014/február: B.4605

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Megmutatjuk, hogy biztosan létezik ilyen n. Ha n=1 és n=2 közül egyik sem megfelelő, akkor α-β és α2-β2 egész számok. Mivel α-β0, ezért α+β=α2-β2α-β racionális szám, és így az
α=(α+β)+(α-β)2és aβ=(α+β)-(α-β)2
számok is racionálisak. Mivel α és β különbsége egész, ezért egyszerűsítés utáni alakjukban a nevező ugyanaz: legyen α=ac és β=bc, ahol a, b, c olyan egész számok, amelyekre (ab,c)=1. Az αn-βn szám pontosan akkor egész, ha cn osztja az
an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+...+bn-1)
számot. Az n=1 esetből ca-b adódik, vagyis a és b azonos maradékot adnak c-vel osztva. Mivel α és β közül legalább az egyik nem egész, ezért |c|1, vagyis a c egész számnak létezik p prímosztója. Mivel ca-b, ezért ab(p), és így
an-1+an-2b+...+bn-1nan-1(p).
Mivel (ab,c)=1, ezért pa. Így, ha az n szám nem osztható p-vel, akkor abból, hogy cnan-bn az is következik, hogy pna-b-nek is teljesülnie kell, hiszen az an-1+an-2b+...+bn-1 összegnek nem osztója p. Elég tehát mutatni egy olyan n pozitív egész számot, amelyre pn és pna-b. Mivel a-b egy 0-tól különböző egész szám, ezért ilyen n nyilvánvalóan létezik: például n=p|a-b|+1 megfelelő. (Ugyanis ezzel a választással |a-b|<n<pn, így mindkét feltétel teljesülése könnyen ellenőrizhető.) Vagyis biztosan létezik olyan n, amelyre αn-βn nem egész.