|
Feladat: |
B.4605 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Baran Zsuzsanna , Csépai András , Csernák Tamás , Di Giovanni Márk , Forrás Bence , Gyulay-Nagy Szuzina , Kúsz Ágnes , Lajkó Kálmán , Maga Balázs , Molnár-Sáska Zoltán , Nagy Kartal , Nagy-György Pál , Schwarz Tamás , Simkó Irén , Szebellédi Márton , Szőke Tamás , Williams Kada , Zsók Bianka |
Füzet: |
2015/március,
140. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Valós számok és tulajdonságaik, Oszthatóság |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2014/február: B.4605 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Megmutatjuk, hogy biztosan létezik ilyen . Ha és közül egyik sem megfelelő, akkor és egész számok. Mivel , ezért racionális szám, és így az | | számok is racionálisak. Mivel és különbsége egész, ezért egyszerűsítés utáni alakjukban a nevező ugyanaz: legyen és , ahol , , olyan egész számok, amelyekre . Az szám pontosan akkor egész, ha osztja az | | számot. Az esetből adódik, vagyis és azonos maradékot adnak -vel osztva. Mivel és közül legalább az egyik nem egész, ezért , vagyis a egész számnak létezik prímosztója. Mivel , ezért , és így | | Mivel , ezért . Így, ha az szám nem osztható -vel, akkor abból, hogy az is következik, hogy -nek is teljesülnie kell, hiszen az összegnek nem osztója . Elég tehát mutatni egy olyan pozitív egész számot, amelyre és . Mivel egy 0-tól különböző egész szám, ezért ilyen nyilvánvalóan létezik: például megfelelő. (Ugyanis ezzel a választással , így mindkét feltétel teljesülése könnyen ellenőrizhető.) Vagyis biztosan létezik olyan , amelyre nem egész. |
|