Feladat:	B.4630	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csernák Tamás
Füzet:	2015/február, 86 - 87. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mértani helyek, Köréírt alakzatok, Térgeometria, Koordináta-geometria
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: B.4630

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen az $AC$ szakasz felezőpontja $F_{AC}$, a $BD$ szakaszé $F_{BD}$. A paralelogramma-tétel miatt: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2P{A}^2+2P{C}^2}& {\displaystyle =A{C}^2+4P{F}_{AC}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2P{B}^2+2P{D}^2}& {\displaystyle =B{D}^2+4P{F}_{BD}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A feladatban szereplő egyenlőség tehát pontosan akkor teljesül, ha ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A{C}^2+4P{F}_{AC}^2}& {\displaystyle =B{D}^2+4P{F}_{BD}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle A{C}^2-B{D}^2}& {\displaystyle =4P{F}_{BD}^2-4P{F}_{AC}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle P{F}_{BD}^2-P{F}_{AC}^2}& {\displaystyle =\frac{A{C}^2-B{D}^2}{4}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $\frac{A{C}^2-B{D}^2}{4}$ konstans, jelöljük $c$-vel. Helyezzük el az $F_{AC}$ és $F_{BD}$ pontokat egy koordináta-rendszerbe, $F_{AC}\left(\mathrm{0,0,0}\right)$ és $F_{BD}\left(a\mathrm{,0,0}\right)$. Legyenek $P$ koordinátái $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$. Ekkor $P{F}_{AC}^2=x^2+y^2+z^2$ és $P{F}_{BD}^2={\left(x-a\right)}^2+y^2+z^2$. Az egyenletünk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(x-a\right)}^2+y^2+z^2-x^2-y^2-z^2=c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -2ax+a^2=c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{a^2-c}{2a}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez egy síknak az egyenlete, amely merőleges az $x$ tengelyre, vagyis az $F_{AC}{F}_{BD}$ egyenesre. Az $ABCD$ tetraéder körülírt gömbjének középpontján nyilván átmegy, mert itt $PA=PB=PC=PD$, tehát a feltétel triviálisan igaz. Így a feladatban szereplő mértani hely a tetraéder köréírt gömbjének középpontján átmenő, az $F_{AC}{F}_{BD}$ egyenesre merőleges sík.