Feladat:	B.4640	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna ,  Fonyó Viktória
Füzet:	2015/február, 88 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Binomiális együtthatók, Teljes indukció módszere, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: B.4640

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle S_m=\sum _{j=0}^{\left[m/2\right]}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2j}\right){\left(-3\right)}^j\mathrm{.}}\end{array}$ Azt állítjuk, hogy $S_{2n}$ értéke $2^{2n}$, ha $n$ osztható 3-mal, és $-2^{2n-1}$ különben. Az állítást $n$-re vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk. Az $n=\mathrm{1,2,3}$ esetekben könnyen ellenőrizhető, hogy valóban teljesül: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_2=1-3\cdot 1=-\mathrm{2,}{S}_4=1-3\cdot 6+9\cdot 1=-\mathrm{8,}{S}_6=1-3\cdot 15+9\cdot 15-27\cdot 1=64.}\end{array}$ Az indukcióhoz elég megmutatni, hogy $m>3$ esetén $S_m=\left(-8\right)S_{m-3}$, hiszen ebből $S_{2n}=\left(-8\right)S_{2n-3}=64S_{2\left(n-3\right)}$, amiből már azonnal következik az állítás. Az $S_m=\left(-8\right)S_{m-3}$ összefüggés igazolásához először az $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2k}\right)$ binomiális együtthatót írjuk fel a Pascal-háromszög $\left(m-3\right)$-adik sorában lévő binomiális együtthatók összegeként: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{2j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1}{2j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-2}{2j-2}\right)+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-2}{2j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-2}{2j}\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j-3}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j-2}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j}\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol az $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)$ kifejezés értékét $b<0$ és $a<b$ esetén is 0-nak tekintjük. Ezt felhasználva $\begin{array}{c}{\displaystyle S_m=\sum _{j=0}^{\left[m/2\right]}\left(\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j-3}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j-2}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j-1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2j}\right)\right){\left(-3\right)}^j\mathrm{.}}\end{array}$ Számoljuk meg, hogy ebben az összegben mi lesz $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{\ell }\right)$ együtthatója, ha $0\le \ell \le m-3$. Ha $\ell =2k+1$ páratlan szám, akkor  a kérdéses együttható $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\cdot {\left(-3\right)}^{k+2}+3\cdot {\left(-3\right)}^{k+1}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ha pedig $\ell =2k$ páros, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\cdot {\left(-3\right)}^{k+1}+1\cdot {\left(-3\right)}^k=-8\cdot {\left(-3\right)}^k\mathrm{.}}\end{array}$ Azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle S_m=\sum _{k=0}^{\left[\left(m-3\right)/2\right]}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-3}{2k}\right)\left(-8\right){\left(-3\right)}^k=-8S_{m-3}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel igazoltuk, hogy a kérdezett összeg értéke 3-mal osztható $n$ esetén $2^{2n}$, 3-mal nem osztható $n$ esetén pedig $-2^{2n-1}$.   II. megoldás. Tekintsük a $\begin{array}{c}{\displaystyle z=1+\sqrt[]{3}i=2\left(\text{cos}\frac{\pi }{3}+i\cdot \text{sin}\frac{\pi }{3}\right)}\end{array}$ alakú komplex számot és határozzuk meg a $2n$-edik hatványát (ahol $n$ pozitív egész szám). A szám trigonometrikus alakjából a De Moivre-képletet alkalmazva azt kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle z^{2n}=2^{2n}\left(\text{cos}\left(n\cdot \frac{2\pi }{3}\right)+i\cdot \text{sin}\left(n\cdot \frac{2\pi }{3}\right)\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészről, az algebrai alakból a binomiális tételt használva: $\begin{array}{c}{\displaystyle z^{2n}=\sum _{j=0}^{2n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{j}\right)\cdot 1^{2n-j}\cdot {\left(\sqrt[]{3}i\right)}^j=\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2j}\right){\left(-3\right)}^j+i\sqrt[]{3}\sum _{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2j+1}\right){\left(-3\right)}^j\mathrm{.}}\end{array}$ A $z^{2n}$ szám kétféle felírásában a valós részeket összehasonlítva $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2j}\right){\left(-3\right)}^j=2^{2n}\cdot \text{cos}\left(n\cdot \frac{2\pi }{3}\right)}\end{array}$ adódik.