Feladat:	B.4633	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Péter
Füzet:	2015/február, 87. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/május: B.4633

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a háromszög belsejében felvett pontok száma $n$, a keletkezett kis háromszögek száma pedig $k$. Mivel az összekötő szakaszokat úgy rajzoltuk meg, hogy a lehető legtöbb kis háromszöget kapjuk, azok az eredeti háromszöget csupa háromszögre bontják. Ha ugyanis lenne a felbontásban háromnál több oldalú sokszög, annak néhány megfelelő átlóját meghúzva további kis háromszögeket kapnánk. Mivel bármely háromszögben a belső szögek összege ${180}^{\circ }$, a keletkezett kis háromszögek belső szögeinek összege $k\cdot {180}^{\circ }$. E szögek összegét viszont úgy is megkaphatjuk, hogy egyrészt minden belső pontnál van ${360}^{\circ }$, másrészt az eredeti háromszög csúcsainál lévő összes szöget, azaz ${180}^{\circ }$-ot is egyszer számolnunk kell. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle k\cdot {180}^{\circ }=n\cdot {360}^{\circ }+{180}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből kapjuk, hogy $k=2n+1$, azaz a keletkezett kis háromszögek száma mindig páratlan.