Feladat:	B.4629	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Schefler Tamás
Füzet:	2015/február, 85 - 86. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometrikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: B.4629

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Alkalmazzuk az $x=t+\frac{2\pi }{3}$ helyettesítést. Ekkor az egyenlet $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}\left(\frac{3t}{2}+\pi \right)=3\text{sin}\left(t+\pi \right)}\end{array}$ alakra hozható. Ezután kihasználva, hogy a szinusz függvény páratlan, látjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle -2\text{sin}\left(\frac{3t}{2}\right)=-3\text{sin}t\mathrm{,}2\text{sin}\left(\frac{3t}{2}\right)=3\text{sin}t\mathrm{.}}\end{array}$ Egy kezelhetőbb alakot kaptunk. A szög háromszorosára és kétszeresére vonatkozó addíciós tételek $\frac{t}{2}$-re történő alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \text{sin}\frac{t}{2}\left(3-4\text{sin}{}^2\frac{t}{2}\right)=3\cdot 2\cdot \text{sin}\frac{t}{2}\text{cos}\frac{t}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezés is kiemelés után $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\frac{t}{2}\left(3-4\text{sin}{}^2\frac{t}{2}-3\text{cos}\frac{t}{2}\right)=0.}\end{array}$ Szorzat abban az esetben lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Emiatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\frac{t}{2}=0\text{vagy}3-4\text{sin}{}^2\frac{t}{2}-3\text{cos}\frac{t}{2}=0.}\end{array}$ Az első egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{t}{2}=k\pi \iff t=2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \mathrm{,}\text{ahol}k\in \text{Z}\mathrm{.}}\end{array}$ A második egyenlet a négyzetes összefüggés beírása után $\text{cos}\frac{t}{2}$-re másodfokú: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3-4+4\text{cos}{}^2\frac{t}{2}-3\text{cos}\frac{t}{2}=\mathrm{0,}4\text{cos}{}^2\frac{t}{2}-3\text{cos}\frac{t}{2}-1=0.}\end{array}$ Ennek megoldásai $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\frac{t}{2}=1\text{és}\text{cos}\frac{t}{2}=-\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek közül az elsőnek a gyökeit a $\text{sin}\frac{t}{2}=0$ megoldásainál már rögzítettük. A $\text{cos}\frac{t}{2}=-\frac{1}{4}$ megoldásai $\begin{array}{c}{\displaystyle t\approx 1\mathrm{,}8235+2l\pi \left(l\in \text{Z}\right)\mathrm{,}\text{illetve}t\approx 4\mathrm{,}4597+2m\pi \left(m\in \text{Z}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a további $x$ értékek $\begin{array}{c}{\displaystyle x\approx 3\mathrm{,}9179+2l\pi \left(l\in \text{Z}\right)\mathrm{,}\text{továbbá}x\approx 0\mathrm{,}2709+2m\pi \left(m\in \text{Z}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ekvivalens átalakításokat végeztünk, az egyenlet összes megoldását megkaptuk, amelyek behelyettesítéssel ellenőrizhetők is.