|
Feladat: |
B.4601 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Csépai András , Di Giovanni Márk , Fekete Panna , Fonyó Viktória , Forrás Bence , Kúsz Ágnes , Maga Balázs , Simkó Irén , Williams Kada |
Füzet: |
2015/február,
82 - 85. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Tetraéderek, Terület, felszín, Esetvizsgálat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2014/január: B.4601 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A tetraédernek négy csúcsa van, ezért bármely síkon lévő merőleges vetülete vagy háromszög, vagy konvex négyszög. Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor a vetület háromszög. E háromszög csúcsai a tetraéder három csúcsának vetületei, a tetraéder negyedik csúcsának vetülete pedig a háromszögbe esik. Tehát a vetület területe megegyezik az egyik lap vetületének területével. Ismert, hogy ha egy területű sokszöget a síkjával szöget bezáró síkra vetítünk és a vetület területe , akkor (ennek bizonyítása megtalálható pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába, 36.7. tétel). Tetraéderünknek kétfajta lapja van. Az egységnyi oldalú szabályos háromszög, ennek területe , valamint az olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek alapja , szárai pedig hosszúak. Az ilyen háromszög alaphoz tartozó magassága Pitagorasz tételéből következően (1. ábra), ezért területe . Mivel , a tetraéder vetületének területére teljesül.
![](upload/abr87/ab87437.png) 1. ábra A tetraéder szabályos háromszöglapjának síkjára vetítünk, akkor e lap vetülete önmaga, a negyedik csúcs vetülete pedig a tetraéder szimmetriája miatt e lap középpontjába esik (2. ábra), tehát ebben az esetben a vetület területe . Ha pedig a csúcsok betűzését úgy választjuk, hogy és teljesül és az lap síkjára vetítünk, akkor megmutatjuk, hogy a negyedik csúcs vetülete e lap belső pontja lesz, s így a vetület területe (3. ábra). Mivel is és is egyenlő távolságra van -től és -től, ezért a szakasz felezőmerőleges síkjában is és is benne van, tehát . Ezért ha a él felezőpontja , akkor az sík merőleges az síkra. Vagyis -nek az síkon lévő vetülete megegyezik az háromszög -ből induló magasságának talppontjával. Ez pedig az szakasz belső pontja, ugyanis a háromszög oldalainak hossza , és , tehát leghosszabb () oldalának négyzete kisebb, mint a másik két oldal négyzetének összege, vagyis hegyesszögű háromszög.
![](upload/abr87/ab87433.png) 2. ábra
![](upload/abr87/ab87438.png) 3. ábra Ha a vetület konvex négyszög, akkor annak mind a négy csúcsa a tetraéder egy-egy csúcsának a vetülete, a négyszög és hosszú átlói pedig a tetraéder két kitérő élének vetületei. Sem a három darab 1 hosszú, sem a három darab hosszú tetraéderélek közt nincsenek kitérőek, ezért feltehetjük, hogy az hosszúságú átló valamely 1 hosszú, az hosszúságú átló pedig valamely hosszú tetraéderél vetülete. Merőleges vetítésnél bármely szakasz képének hossza legfeljebb akkora, mint az eredeti szakasz hossza, ezért és . Ismert, hogy ha egy konvex négyszög átlóinak hossza és , az átlók szöge pedig , akkor a négyszög területe . Tehát ebben az esetben a tetraéder vetületének területére teljesül. Válasszuk a csúcsok betűzését ugyanúgy, mint az előző példában, legyen továbbá az , , és élek felezőpontja rendre , , és (4. ábra). Ekkor az és háromszögekben és az élhez, az és háromszögekben pedig és a élhez tartozó középvonalak. Ezért és . Vagyis az , , és pontok egy síkba esnek és paralelogrammát alkotnak. Továbbá a párhuzamosságok miatt az és egyenesek is párhuzamosak -sel. Mivel merőleges vetítésnél a vetítés irányára merőleges szakaszok hossza nem változik, ez azt jelenti, hogy az tetraéder -en lévő merőleges vetülete egy olyan négyszög, melyben és . Továbbá miatt is fennáll. Vagyis az tetraéder síkra eső merőleges vetületének területére teljesül.
![](upload/abr87/ab87435.png) 4. ábra Most már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy különböző értékei esetén az (1) és (2) egyenlőtlenségek közül melyik ad nagyobb felső korlátot a vetület területére. A feladatban leírt tetraéder nyilván pontosan akkor létezik, ha nagyobb, mint az egységnyi oldalú szabályos háromszög köré írható kör sugara, azaz ha . A egyenlőtlenség triviálisan teljesül, ezért azt kell meghatároznunk, hogy mikor áll fenn. Ez pontosan akkor teljesül, ha . Tehát esetén a tetraéder bármely síkon lévő merőleges vetületének területe legfeljebb , esetén pedig legfeljebb lehet. |
|