Feladat:	2014. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2015/február, 71 - 72. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Síkgeometriai bizonyítások, Tengelyes tükrözés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: 2014. évi Kürschák matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Alkossák a $H$ halmazt a $K$ sokszöglemez $S$ síkjának mindazon pontjai, amelyek véges sok, a $K$ oldalegyeneseire végzett tükrözés egymásutánjával $K$-ba vihetők. A mi feladatunk a $H=S$ egyenlőség igazolása. Világos, hogy $K\subseteq H$, továbbá a konstrukció folytán $H$ tükrös $K$ minden oldalegyenesére. Legyen $\text{E}$ a $H$ tükörtengelyeinek halmaza. Világos, hogy ha $t_1\mathrm{,}{t}_2\in \text{E}$ és $t_1\text{'}$ a $t_1$ tükörképe $t_2$-re, akkor $t_1\text{'}\in \text{E}$, ahol azaz $H$ tükrös minden olyan egyenesre is, amelyet $H$ egy tükörtengelyének a $H$ egy másik tükörtengelyére való tükrözésével kapunk. Mivel $K\subseteq H$, ezért $H$ tükörszimmetriái folytán $K$-nak minden olyan $K\text{'}$ képe is $H$-ban fekszik, amit $K$-ból $\text{E}$-beli egyenesekre vonatkozó tükrözések egymásutánjával kapunk. Ráadásul az így kapható $K\text{'}$ sokszögek minden oldalegyenese $\text{E}$-beli, azaz a $H$ egy tükörtengelye. Jelölje $r\ge 0$ esetén $K^r$ az $S$ sík azon pontjait, amelyek legfeljebb $r$ távolságra vannak a $K$ sokszöglemeztől. Megmutatjuk, hogy $K^r\subseteq H$ teljesül alkalmas $r>0$ esetén. Válasszunk egy olyan $R>0$ számot, amelyre a $K$ csúcsai köré írt $R$ sugarú körlemezek mindegyikének a $K$-val vett metszete körcikk. Egy ilyen $R$ sugarú körcikk tükörképe a körcikket határoló sugár egyenesére $H$-ban fekszik, hiszen a tükrözés tengelyére $H$ szimmetrikus. Sőt: ha a tükörképként kapott körcikket tükrözzük egy azt határoló sugár egyenesére, akkor az így kapott kép is $H$-ban marad, és ugyanez az így kapott tükörképek tükörképeire is igaz. Ezért a $K$ csúcsai köré írt $R$ sugarú körlemezek mindegyike része $H$-nak. Tekintsük a $K$ sokszöglemeznek, a $K$ csúcsai köré írt $R$ sugarú köröknek és a $K$-nak a $K$ oldalegyeneseire vett tükörképeinek $K^{*}$ unióját. Könnyen látható, hogy van olyan $r>0$ szám, amelyre $K^r\subseteq K^{*}$ teljesül, tehát alkalmas $n$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle K^r\subseteq K_1\cup K_2\cup \text{...}\cup K_n\subseteq H\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol minden egyes $K_i$-t a $H$ bizonyos tükörtengelyeire való tükrözések egymásutánjával kapunk $K$-ból. Most tegyük fel, hogy $K^t\subseteq H$ valamely $t>0$-ra. Vegyük észre, hogy ha azokat a tükrözéseket, amelyek a $K$ sokszöget $K_i$-be viszik a $K$ helyett a $K^t$ alakzatra végezzük el, akkor a kapott kép éppen $K_i^t$ lesz. Vagyis ha $K^t\subseteq H$, akkor $K_i^t\subseteq H$, amiből (1) miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle K^{\left(r+t\right)}\subseteq K_1^t\cup K_2^t\cup \text{...}\cup K_n^t\subseteq H}\end{array}$ következik. Az adódott tehát, hogy ha $K^t\subseteq H$, akkor $K^{t+r}\subseteq H$. Láttuk azonban, hogy $K^r\subseteq H$, ezért $K^{2r}\subseteq H$, innen $K^{3r}\subseteq H$ stb. Így aztán $\begin{array}{c}{\displaystyle H\subseteq S=K^r\cup K^{2r}\cup K^{3r}\cup \text{...}\subseteq H}\end{array}$ adódik, ahonnan $H=S$ következik, és nekünk pontosan ezt kellett igazolnunk.  $\square$   Megjegyzések. 1. Úgy kaphatunk egy lehetséges másik megoldást a feladatra, ha követjük a fenti bizonyítás első két bekezdését, majd azt igazoljuk, hogy az $S$ sík lefedhető azokkal a $K$-val egybevágó sokszöglemezekkel, amelyeket $K$-ból megkaphatunk annak az operációnak a véges sokszori alkalmazásával, amelyben egy sokszöglemezt tükrözünk annak egy oldalegyenesére. Minden így kapott $K\text{'}$ sokszöglemez ugyanis része $H$-nak, hiszen $H$ szimmetrikus az operáció során használt tükörtengelyekre. Érdemes megfigyelni az alábbiakat. Legyen $P$ a $K$ sokszöglemez $S$ síkjának egy pontja. Kössük össze $P$-t a $K$ egy $Q$ belső pontjával, és indítsunk el egy biliárdgolyót $Q$-ból a $QP$ félegyenes mentén. Ha a $K$ sokszöglemezt egy biliárdasztalnak gondoljuk, amelynek határát elérve a bilárdgolyó a fizikai törvényeknek megfelelően pattan vissza (azaz úgy, hogy a visszapattanó golyó pályáját tükrözve az éppen elért oldal egyenesére pontosan az adott oldal elérését megelőző pályaegyenes meghosszabbítását kapjuk), akkor a $K$ sokszöglemeznek az a pontja, amelybe a biliárdgolyó $|\overline{PQ}|$ távolság megtétele után kerül, egy olyan pont lesz, amelybe $P$ betükrözhető. Ha a feladat megoldását erre a megfigyelésre szeretnénk alapozni, akkor vizsgálni kell, mi is történik akkor, ha a biliárdgolyó az útja során $K$ egy csúcsába jut. Nem lehetetlen ezt az esetet jól kezelni, de azt sem nehéz igazolni, hogy ilyenkor $Q$ helyett választható $K$-nak egy másik $Q\text{'}$ pontja, amelyből a golyót útjára indítva már nem ütközünk $K$ csúcsába. Egy másik nehézség annak igazolása, hogy bármelyik pontból bármelyik irányba is indítjuk a biliárdgolyót, az tetszőlegesen nagy távolságot meg tud tenni a $K$ sokszöglemezen. Ennek belátását az olvasóra bízzuk. 2. Könnyen látható, hogy a feladatban nem lényeges feltétel a $K$ sokszöglemez konvex volta. Tekintsük ugyanis $K$ összes oldalegyenesét. Ezek a síkot konvex tartományokra bontják fel. A konstrukcióból adódóan minden ilyen tartomány vagy része $K$-nak vagy diszjunkt $K$ belsejétől. Tekintsünk egy $K$-ban elhelyezkedő, konvex $K\text{'}$ tartományt. A $K\text{'}$ minden oldalegyenese egyúttal oldalegyenese $K$-nak is, ezért ha a $K\text{'}$-re igazoltuk a feladat állítását, akkor abból azonnal következik, hogy $K$ is rendelkezik a kívánt tulajdonsággal. Sőt, az is igaz, hogy $K$ oldalegyeneseire végrehajtott tükrözések egymásutánjával $K$ síkjának tetszőleges pontja a $K$-nál szűkebb $K\text{'}$ konvex sokszöglemez belsejébe vagy határára tükrözhető.