Kezdőlap


Feladat:	B.4691	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Marozsák Tóbiás , Szemerédi Levente
Füzet:	2015/szeptember, 351. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Terület, felszín, Trigonometrikus függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: B.4691

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek a téglalap $a$ , $b$ , $c$ , és $d$ egyeneseken lévő csúcspontjai rendre $A$ , $B$ , $C$ , illetve $D$ . Állítsunk merőlegeseket a $B$ és $C$ pontokból az $a$ egyenesre, talppontjaik legyenek $E$ és $F$ (ábra).

B A E ∢ = A C F ∢

merőleges szárú szögek, jelöljük őket

α

-val.
Az

A B E

derékszögű háromszögben

B E = 1

, így

A B = \frac{1}{sin α}

.
Az

A C F

derékszögű háromszögben

C F = 4

, így

A C = \frac{4}{cos α}

.
A téglalap területe:

\begin{matrix} T = A B \cdot A C = \frac{4}{sin α \cdot cos α} = \frac{8}{2 \cdot sin α \cdot cos α} = \frac{8}{sin 2 α} . \end{matrix}

A téglalap területe akkor lesz minimális, ha

sin 2 α

értéke maximális. Ez a

0 \leq α \leq 90^{\circ}

tartományban

α = 45^{\circ}

-nál lesz, ekkor

sin 2 α = sin 90^{\circ} = 1

.
Tehát a legkisebb területű téglalap az lesz, ahol az

A B

oldal

45^{\circ}

-os szöget zár be az

a

egyenessel. Ekkor a téglalap területe

T = 8

területegység.