Feladat:	B.4681	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adorján Dániel ,  Katona Dániel
Füzet:	2015/szeptember, 350. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Háromszög területe, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/január: B.4681

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A C. 1240. feladat megoldásából1 tudjuk, hogy valamennyi szakasz hossza 7 cm.     Jelöljük a szögeket az ábrán látható módon $\alpha$-val, $\beta$-val és $\gamma$-val. Az egybevágóság miatt $BAE\sphericalangle =CBG\sphericalangle =IHG\sphericalangle =\alpha +\gamma$. A $CBGHI$ ötszögben a szögek összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha +\left({360}^{\circ }-\alpha -\gamma \right)+\beta +\left(\alpha +\gamma \right)+\gamma =3\cdot {180}^{\circ }={540}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }$. Ez azt mutatja, hogy a $GB$ szakasz párhuzamos a $HI$ szakasszal, így a $BGHI$ négyszög rombusz, vagyis a $BI$ távolság is $a=7$ cm. Ekkor a $CBI$ háromszög szabályos, amiből $\alpha ={60}^{\circ }$. Az $\alpha$ szög értékének ismeretében $\beta +\gamma ={120}^{\circ }$, valamint a szabályos háromszög és a rombusz szögeiből az $I$ pontban $\gamma ={60}^{\circ }+\beta$. Ezekből a szögek kiszámíthatók: $\beta ={30}^{\circ }$ és $\gamma ={90}^{\circ }$. A rombusz magassága: $m=a\cdot \text{sin}\beta =\frac{a}{2}$, területe pedig $T_R=a\cdot m=\frac{a^2}{2}$. A $CBI$ háromszög területe: $T_H=\frac{\sqrt[]{3}}{4}{a}^2$. A teljes $CBGHI$ ötszög területe így: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=T_R+T_H=\frac{2+\sqrt[]{3}}{4}{a}^2\approx 45\mathrm{,}72{\text{cm}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ 1http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=C1240&l=hu.