Feladat:	B.4660	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bereczki Zoltán ,  Geng Máté
Füzet:	2015/szeptember, 348. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Többszemélyes véges játékok, Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/november: B.4660

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük $n$-nel a hátralevő fordulók számát. Meg fogjuk mutatni, hogy $n>1$ esetén mindig lehet példát adni a feladat állítására, ám $n=1$ esetén nem. Ha $n=1$, akkor már csak 1 forduló van hátra, és amennyiben az $A$ csapat több pontot szerez mint $x$, akkor is biztosan megnyeri a bajnokságot, hiszen már $x$ pont szerzése estén is nyert volna. Ha $n\ge 2$, akkor $x=3n-4$-re adunk példát az állításra. Legyen a tabellán 2. csapat a $B$, neki van a legnagyobb esélye, hogy utolérje az élen álló csapatot. Tegyük fel, hogy $A$ játszik még $B$-vel, hogy $B$ a hátralévő többi, nem $A$ ellen vívott mérkőzését megnyeri, és hogy rajtuk kívül van még legalább két csapat, akik egymás között mindig döntetlent játszanak (ekkor ugyanis egyik sem éri utol a $B$ csapatot sem). Az $A$ csapat csak akkor szerezhet $n$ fordulóban $3n-4$ pontot, ha kettő kivételével minden meccsét megnyeri, a maradék kettőn pedig döntetlent játszik. Így ha $A$-nak $k$ pontja volt, és $B$-nek $k-3$, akkor $A$-nak $k+3n-4$ lesz, míg $B$-nek $\left(k-3\right)+\left(3n-2\right)=k+3n-5$, vagyis $A$ megnyeri a bajnokságot. $A$ csak úgy szerezhet az utolsó $n$ fordulóban $3n-3$ pontot, ha pontosan egy meccset elveszít, a többit megnyeri. Ha a $B$ ellen veszít, akkor a végén $k+3n-3$ pontja lesz, míg $B$-nek $k-3+3n$. Tehát pontegyenlőség alakul ki, ekkor sorsolással döntenek, vagyis nem biztos, hogy $A$ nyer. $A$-nak lehet úgy 3-mal több pontja, mint $B$-nek, ha az eddigi összes meccsét megnyerte, $B$ pedig pontosan egyet elveszített, a többit pedig megnyerte. Ha eddig $m$ forduló volt, akkor $A$-nak $3m$, $B$-nek pedig $3m-3$ pontja van. A többi csapat egymással mindig döntetlent játszott, nekik $m$ pontjuk van, kivéve a harmadik helyezettet, aki a $B$-t legyőzte. Ennek a csapatnak $m+2$ pontja van. Teljesülnie kell, hogy $3m-3>m+2$, amiből $m\ge 3$ következik. Tehát az általunk adott példában a fordulók száma legalább $3+n$, a csapatok száma pedig legalább $4+n$.