Feladat:	B.4676	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gáspár Attila
Füzet:	2015/szeptember, 349. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Feltételes valószínűség, események
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/december: B.4676

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük $q$-val annak a valószínűségét, hogy a bolha visszajut a 0-ba. A szimmetria miatt feltételezhetjük, hogy pozitív irányba indul el. Jelöljük $r$-rel annak a valószínűségét, hogy az 1-ből eljut a 0-ba, ha az 1-re a 2-ből érkezett. Ha $p=1$, akkor $q=0$, biztos, hogy a bolha nem tér vissza a 0-ba. Tegyük fel mostantól, hogy $p\ne 1$. Az első ugrás után feltevésünk szerint a bolha az 1-ben van, innen $1-p$ valószínűséggel egyből visszaugrik a 0-ba, $p$ valószínűséggel pedig tovább a 2-re. Utóbbi esetben annak a valószínűsége, hogy a bolha visszatér az 1-be, szintén $q$. Ilyenkor az 1-be a 2-ből érkezik, így annak a valószínűsége, hogy ezután eljut a 0-ba $r$. Ezért az alábbi egyenlet írható fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle q=\left(1-p\right)+pqr\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Most keressünk ehhez hasonló egyenletet $r$-re is. Miután az 1-be a 2-ből érkezett, $p$ valószínűséggel továbbugrik a 0-ba, $1-p$ valószínűséggel pedig visszaugrik a 2-re. Innen az előzőekhez hasonlóan $q$ valószínűséggel jut vissza az 1-re és onnan $r$ valószínűséggel jut el a 0-ba, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle r=p+\left(1-p\right)qr\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A két egyenletet összeadva $\begin{array}{c}{\displaystyle r+q=qr+\mathrm{1,}}\end{array}$ amiből átrendezés és szorzattá alakítás után a $\begin{array}{c}{\displaystyle 0=\left(1-q\right)\left(1-r\right)}\end{array}$ összefüggést kapjuk. Ez az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha $r=1$ vagy $q=1$. Ha $r=1$, akkor (2)-be behelyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=p+\left(1-p\right)q\mathrm{,}}\end{array}$ és így $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1-p\right)\left(1-q\right)=0.}\end{array}$ Mivel $p\ne 1$, azért $q=1$, vagyis $q=1$-nek mindenképpen teljesülnie kell. Tehát ha $p\ne 1$, akkor 1 valószínűséggel visszajut a 0-ba, $p=1$ esetén viszont biztos, hogy nem jut vissza.